Một tổ sản xuất mỗi ngày cần phải làm x sản phẩm theo kế hoạch. Nhờ cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày tổ làm được nhiều hơn 3 sản phẩm so với kế hoạch. Khi đó, số sản phẩm sản xuất được mỗi ngày theo thực tế là

Ta có \({m^2}x + 2m - 8 = 16x\)

\(\left( {{m^2} - 16} \right)x =  - 2m + 8\)

\(\left( {m - 4} \right)\left( {m + 4} \right)x =  - 2\left( {m - 4} \right)\)

Phương trình (1) là phương trình bậc nhất thì \(m \ne  \pm \,4.\)

Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - 2}}{{m + 4}}.\)

Phương trình có nghiệm nguyên khi \(m + 4 \in \)Ư\[\left( { - 2} \right) = \left\{ { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\,2} \right\}.\]

Do đó \[m \in \left\{ { - 6\,;\,\, - 5\,;\,\, - 3\,;\,\, - 2} \right\}.\]

Vậy để phương trình (1) là phương trình bậc nhất ẩn \(x\) và có nghiệm là số nguyên thì\[m \in \left\{ { - 6\,;\,\, - 5\,;\,\, - 3\,;\,\, - 2} \right\}.\]

Gọi \[x\,\,{\rm{(km)}}\] là độ dài quãng đường AB  \[\left( {x > 0} \right).\]

Thời gian xe máy đi từ A đến B là \(\frac{x}{{40}}\) (giờ).

Thời gian xe máy đi từ B đến A là \(\frac{x}{{30}}\) (giờ).

Đổi: 45 phút \( = \frac{3}{4}\) giờ.

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút nên ta có phương trình \(\frac{x}{{30}} - \frac{x}{{40}} = \frac{3}{4}.\).

Giải phương trình, ta được x = 90 (TMĐK)

Vậy độ dài quãng đường AB là \[90\,\,{\rm{km}}.\]