Cho \(a,\,b\) là các số thực không âm thoả mãn \({a^2} + {b^2} = 1\).

Đặt \[P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}}\]. Chứng minh: \[{\left( {P + 1} \right)^2} \le 2\].

 Gọi số áo xưởng phải may theo kế hoạch là x (chiếc) (ĐK: \[x \in {\mathbb{N}^*}\])

 Thời gian xưởng may theo kế hoạch là: \[\frac{x}{{30}}\] (ngày)

 Thực tế mỗi ngày xưởng may được số chiếc áo là: 30 + 10 = 40 (chiếc)

Tổng số áo xưởng may được trên thực tế là: x + 20 (chiếc)

Thời gian xưởng may thực tế là: \[\frac{{x + 20}}{{40}}\] (ngày)

 Ta có phương trình: \[\frac{x}{{30}} - \frac{{x + 20}}{{40}} = 2\]

 Giải phương trình ra x = 300 (TMĐK).

Vậy số áo xưởng phải may theo kế hoạch là 300 chiếc.

1 Tính diện tích giấy màu bạn Hoa cần sử dụng.

 Diện tích giấy màu bạn Hoa cần sử dụng là: \[{S_{xq}} = p \cdot d = 2 \cdot 25 \cdot 32 = 1600\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

2

a Chứng minh .

 Vì ABCD là hình chữ nhật nên \[\widehat {BAD} = 90^\circ \]

Vì AH vuông góc với BD tại H nên \[\widehat {AHB} = \widehat {AHD} = 90^\circ \]

 Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBA\) có:

\[\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \] (cmt)

\[\widehat {ABH}\] chung

 Do đó  (g.g)

b  Chứng minh \(B{C^2} = BD.DH\)

 Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HAD\) có:

\[\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ \] (cmt)

\[\widehat {ADH}\] chung

Do đó  (g.g)

 Suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(A{D^2} = BD \cdot DH\).

 Mà AD = BC (do ABCD là hình chữ nhật) nên \(B{C^2} = BD.DH\)

c Chứng minh \[\Delta AIE\] cân và \(AE.KA = IH.KB\).

 Vì DE là đường phân giác của tam giác ABD nên \[\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\].

Vì nên \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{A_1}}\] (hai góc tương ứng)

Suy ra \[\,\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}}\,\,\left( 1 \right)\]

 Xét \[\Delta AID\], có: \[\widehat {AIE} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{D_2}}\] (tính chất góc ngoài) (2)

Xét \[\Delta DEB\], có: \[\widehat {AEI} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}}\] (tính chất góc ngoài) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\widehat {AIE} = \widehat {AEI}\] nên \[\Delta AIE\] cân tại A suy ra\[AE = AI\]

 Xét \[\Delta ADH\] có DI là đường phân giác \[\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}\]

Mà AE = AI (cmt) \[\] (4)

Suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) nên \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{DH}}{{DA}}\) (5)

Từ (4) và (5) suy ra \[\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AD}}{{BD}}\] (*)

 Xét \[\Delta ADB\] có DE là đường phân giác \[\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}\]   (**)

Từ (*) và (**) suy ra \[\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EB}}\] do đó\(A{E^2} = IH.EB\).