Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 trường THCS Lê Quý Đôn (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án

a .Thay x = 1 (TMĐK) vào A, ta được:

\[A = \frac{{2.1 + 6}}{{1 - 5}} = \frac{8}{{ - 4}} =  - 2\]

Vậy \[A =  - 2\] khi x = 1.

b.  \[B = \left( {\frac{4}{{x - 5}} + \frac{{3x - 1}}{{{x^2} - 25}} - \frac{1}{{x + 5}}} \right).\frac{{{x^2} + 5x}}{{x + 4}}\]

 \[ = \left[ {\frac{{4\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{3x - 1}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{x - 5}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}} \right].\frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{x + 4}}\]

 \[ = \frac{{4\left( {x + 5} \right) + 3x - 1 - \left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}.\frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{x + 4}}\]

 \[ = \frac{{6\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}.\frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{x + 4}}\]

 \[ = \frac{{6x}}{{x - 5}}\]

c. Cho \[P = \frac{A}{B}\]. Tìm x để \[P = \frac{3}{4}\].

 \[P = \frac{A}{B} = \frac{{2x + 6}}{{x - 5}}:\frac{{6x}}{{x - 5}} = \frac{{x + 3}}{{3x}}\] \[\left( {x \ne  - 4\,;\,\,x \ne  \pm 5\,;\,\,x \ne 0} \right)\]

Với \[P = \frac{3}{4}\] thì \[\frac{{x + 3}}{{3x}} = \frac{3}{4}\]

 Suy ra \[4\left( {x + 3} \right) = 3 \cdot 3x\]

\[\,4x + 12 = 9x\]

\[5x = 12\]

\[x = \frac{{12}}{5}\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\]

 Gọi số áo xưởng phải may theo kế hoạch là x (chiếc) (ĐK: \[x \in {\mathbb{N}^*}\])

 Thời gian xưởng may theo kế hoạch là: \[\frac{x}{{30}}\] (ngày)

 Thực tế mỗi ngày xưởng may được số chiếc áo là: 30 + 10 = 40 (chiếc)

Tổng số áo xưởng may được trên thực tế là: x + 20 (chiếc)

Thời gian xưởng may thực tế là: \[\frac{{x + 20}}{{40}}\] (ngày)

 Ta có phương trình: \[\frac{x}{{30}} - \frac{{x + 20}}{{40}} = 2\]

 Giải phương trình ra x = 300 (TMĐK).

Vậy số áo xưởng phải may theo kế hoạch là 300 chiếc.

1 \[{\left( {x + 1} \right)^2} + {x^2} = 2x\left( {x + 3} \right) - 7\]

 \({x^2} + 2x + 1 + {x^2} = 2{x^2} + 6x - 7\)

 \({x^2} + 2x + 1 + {x^2} - 2{x^2} - 6x + 7 = 0\)

 \[ - 4x + 8 = 0\]

 \[x = 2\].

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 2\].

2

a  Cho x = 0 suy ra y = 4

 Cho y = 0 suy ra \[x =  - 4\]

 Đồ thị của hàm số \[y = x + 4\] là một đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ \[\left( {0\,;\,\,4} \right)\] và \[\left( { - 4\,;\,\,0} \right)\]

 Vẽ đồ thị (d) của hàm số \[y = x + 4\]

b Gọi giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) với đường thẳng \[\left( {d'} \right)\] là \[I\left( {{x_I}\,;\,\,{y_I}} \right).\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}I\left( {{x_I};{y_I}} \right) \in d\\I\left( {{x_I};{y_I}} \right) \in d'\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}{y_I} = {x_I} + 4\\{y_I} = 2{x_I} + 1\end{array} \right.\]

Suy ra \[2{x_I} + 1 = {x_I} + 4\], do đó \[{x_I} = 3\]

 Thay x = 3 vào \(\left( d \right)\), ta được: \[y = 3 + 4 = 7\]

Vậy giao điểm của \(\left( d \right)\) và \[\left( {d'} \right)\] là điểm \[I\left( {3\,;\,\,7} \right).\]

1 Tính diện tích giấy màu bạn Hoa cần sử dụng.

 Diện tích giấy màu bạn Hoa cần sử dụng là: \[{S_{xq}} = p \cdot d = 2 \cdot 25 \cdot 32 = 1600\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

2

a Chứng minh .

 Vì ABCD là hình chữ nhật nên \[\widehat {BAD} = 90^\circ \]

Vì AH vuông góc với BD tại H nên \[\widehat {AHB} = \widehat {AHD} = 90^\circ \]

 Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBA\) có:

\[\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \] (cmt)

\[\widehat {ABH}\] chung

 Do đó  (g.g)

b  Chứng minh \(B{C^2} = BD.DH\)

 Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HAD\) có:

\[\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ \] (cmt)

\[\widehat {ADH}\] chung

Do đó  (g.g)

 Suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(A{D^2} = BD \cdot DH\).

 Mà AD = BC (do ABCD là hình chữ nhật) nên \(B{C^2} = BD.DH\)

c Chứng minh \[\Delta AIE\] cân và \(AE.KA = IH.KB\).

 Vì DE là đường phân giác của tam giác ABD nên \[\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\].

Vì nên \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{A_1}}\] (hai góc tương ứng)

Suy ra \[\,\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}}\,\,\left( 1 \right)\]

 Xét \[\Delta AID\], có: \[\widehat {AIE} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{D_2}}\] (tính chất góc ngoài) (2)

Xét \[\Delta DEB\], có: \[\widehat {AEI} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}}\] (tính chất góc ngoài) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\widehat {AIE} = \widehat {AEI}\] nên \[\Delta AIE\] cân tại A suy ra\[AE = AI\]

 Xét \[\Delta ADH\] có DI là đường phân giác \[\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}\]

Mà AE = AI (cmt) \[\] (4)

Suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) nên \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{DH}}{{DA}}\) (5)

Từ (4) và (5) suy ra \[\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AD}}{{BD}}\] (*)

 Xét \[\Delta ADB\] có DE là đường phân giác \[\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}\]   (**)

Từ (*) và (**) suy ra \[\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EB}}\] do đó\(A{E^2} = IH.EB\).