1) Bạn Hoa làm một chiếc lồng đèn hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng \(25\,{\rm{cm}}\), độ dài trung đoạn chiếc lồng đèn này là \(32\,{\rm{cm}}\). Bạn Hoa dùng các tấm giấy màu để dán trang trí các mặt bên của đèn. Tính diện tích giấy màu bạn Hoa cần sử dụng (coi như mép dán không đáng kể).

2) Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BD\) tại \(H\).

a) Chứng minh \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBA\) đồng dạng.

b) Chứng minh \(B{C^2} = BD.DH\).

c) Kẻ \(DE\) là đường phân giác của tam giác \(ABD\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(DE\) và \(AH\). Chứng minh \[\Delta AIE\] cân và \(A{E^2} = IH.EB\). 

1 Tính diện tích giấy màu bạn Hoa cần sử dụng.

 Diện tích giấy màu bạn Hoa cần sử dụng là: \[{S_{xq}} = p \cdot d = 2 \cdot 25 \cdot 32 = 1600\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

2

a Chứng minh .

 Vì ABCD là hình chữ nhật nên \[\widehat {BAD} = 90^\circ \]

Vì AH vuông góc với BD tại H nên \[\widehat {AHB} = \widehat {AHD} = 90^\circ \]

 Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBA\) có:

\[\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \] (cmt)

\[\widehat {ABH}\] chung

 Do đó  (g.g)

b  Chứng minh \(B{C^2} = BD.DH\)

 Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HAD\) có:

\[\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ \] (cmt)

\[\widehat {ADH}\] chung

Do đó  (g.g)

 Suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(A{D^2} = BD \cdot DH\).

 Mà AD = BC (do ABCD là hình chữ nhật) nên \(B{C^2} = BD.DH\)

c Chứng minh \[\Delta AIE\] cân và \(AE.KA = IH.KB\).

 Vì DE là đường phân giác của tam giác ABD nên \[\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\].

Vì nên \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{A_1}}\] (hai góc tương ứng)

Suy ra \[\,\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}}\,\,\left( 1 \right)\]

 Xét \[\Delta AID\], có: \[\widehat {AIE} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{D_2}}\] (tính chất góc ngoài) (2)

Xét \[\Delta DEB\], có: \[\widehat {AEI} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}}\] (tính chất góc ngoài) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\widehat {AIE} = \widehat {AEI}\] nên \[\Delta AIE\] cân tại A suy ra\[AE = AI\]

 Xét \[\Delta ADH\] có DI là đường phân giác \[\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}\]

Mà AE = AI (cmt) \[\] (4)

Suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) nên \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{DH}}{{DA}}\) (5)

Từ (4) và (5) suy ra \[\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AD}}{{BD}}\] (*)

 Xét \[\Delta ADB\] có DE là đường phân giác \[\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}\]   (**)

Từ (*) và (**) suy ra \[\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EB}}\] do đó\(A{E^2} = IH.EB\).