Bài tập Tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số của hai đoạn thẳng bằng cách sử dụng tính chất của đường phân giác lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Tam giác ABC có AD là đường phân giác góc A.

Do đó ta có:

\(\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{BD}}}}\) hay \(\frac{{\rm{9}}}{4} = \frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{BD}}}}\).

Tam giác ABC có BE là đường phân giác góc E.

Do đó ta có: \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EC}}}}\) hay \(\frac{6}{{\rm{x}}} = \frac{{\rm{5}}}{{\rm{3}}}\)

Suy ra \({\rm{x}} = \frac{{6 \cdot 3}}{5} = 3,6\).

Tam giác OMN có OD là đường phân giác góc O.

Do đó ta có: \(\frac{{{\rm{ON}}}}{{{\rm{OM}}}} = \frac{{{\rm{DN}}}}{{{\rm{MD}}}}\).

Suy ra \(\frac{{{\rm{ON}}}}{{{\rm{DN}}}} = \frac{{{\rm{OM}}}}{{{\rm{MD}}}}\) (tính chất của tỉ lệ thức).

Khi đó, \(\frac{{{\rm{OM}}}}{{{\rm{MD}}}} = \frac{9}{7}\).

Tam giác ABC có CE là đường phân giác góc C.

Do đó ta có: \(\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EB}}}}\) hay \(\frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).

Suy ra \({\rm{x}} = \frac{3}{5}{\rm{y}}\).

Vì AE + EB = AB hay x + y = 8

Do đó \(\frac{3}{5}{\rm{y + y}} = 8\), suy ra \(\frac{8}{5}{\rm{y}} = 8\).

Vậy y = 5 và x = 8 – 5 = 3.

Tam giác DEF có DI là đường phân giác của góc D.

Do đó ta có: \(\frac{{{\rm{DE}}}}{{{\rm{DF}}}} = \frac{{{\rm{EI}}}}{{{\rm{IF}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{EI}}}}{{{\rm{IF}}}} = \frac{5}{8}\).

Tỉ số diện tích của tam giác DEI và DFI chính là tỉ số \(\frac{{{\rm{EI}}}}{{{\rm{IF}}}}\) (vì hai tam giác này có chung đường cao hạ từ D đến EF).

Vậy tỉ số diện tích của tam giác DEI và tam giác DFI là \(\frac{5}{8}\).

Ta có MP = 2MN, suy ra \(\frac{{MN}}{{MP}} = \frac{1}{2}\).

Tam giác MNP có MO là đường phân giác góc M.

Do đó ta có: \(\frac{{{\rm{NO}}}}{{{\rm{OP}}}} = \frac{{{\rm{MN}}}}{{{\rm{MP}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{NO}}}}{{{\rm{OP}}}} = \frac{1}{2}\). Vậy (I) đúng.

Suy ra \(\frac{{{\rm{OP}}}}{{{\rm{NO}}}} = 2\). Vậy (IV) sai.

Vì NO + OP = NP nên NO + 2NO = NP hay 3NO = NP

Suy ra \(\frac{{{\rm{NO}}}}{{{\rm{NP}}}} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{{\rm{OP}}}}{{{\rm{NP}}}} = \frac{2}{3}\). Vậy (II) sai, (III) đúng.

Vậy có 2 khẳng định đúng.

Đáp án đúng là: D

Vì I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác ABC.

Do đó I cách đều ba cạnh của tam giác ABC (tính chất ba đường phân giác trong tam giác).

Suy ra IG = IH = IK.

Mà IG = 12 cm nên IK = 12 cm.

Đáp án đúng là: B

Tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc A.

Do đó ta có \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{DC}}}}\) hay \(\frac{6}{7} = \frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}\)

Suy ra \({\rm{x}} = \frac{6}{7}{\rm{y}}\).

Ta có BD + DC = BC hay x + y = 9.

Từ đó ta có \(\frac{6}{7}{\rm{y}} + {\rm{y}} = 9\), suy ra \(\frac{{13}}{7}{\rm{y}} = 9\).

Vậy \({\rm{y}} = \frac{{63}}{{13}}\) và \({\rm{x}} = \frac{{54}}{{13}}\).

Do đó \({\rm{y}} - {\rm{x}} = \frac{{63}}{{13}} - \frac{{54}}{{13}} = \frac{9}{{13}}\).