Trong một đợt khuyến mãi, siêu thị giảm giá cho mặt hàng \(A\) là \(20\% \) và mặt hàng \(B\) là \(15\% \) so với giá niêm yết. Một khách hàng mua \(2\) mặt hàng \(A\) và \(1\) mặt hàng \(B\) phải trả số tiền là \(362000\) đồng. Nhưng nếu mua trong khung giờ vàng thì mặt hàng \(A\) được giảm giá \(30\% \) còn mặt hàng \(B\) được giảm giá \(25\% \) so với giá niêm yết. Một người mua \(3\) mặt hàng \(A\) và \(2\) mặt hàng \(B\) trong khung giờ vàng nên chỉ trả số tiền là \(552000\) đồng. Tính giá niêm yết của mỗi mặt hàng \(A\) và \(B\).

Theo định lý Viète ta có \({x_1} + {x_2} = \frac{1}{2},{x_1}{x_2} =  - \frac{1}{4}\)

Ta có: \(A = {({x_1} - {x_2})^2} - {x_1}\left( {{x_1} - \frac{1}{2}} \right) = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - \frac{1}{4}\left( {4x_1^2 - 2{x_1} - 1} \right) - \frac{1}{4}\)

\( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 4.\left( { - \frac{1}{4}} \right) - 0 - \frac{1}{4} = 1\)

a) Xét \[\Delta BHE\] vuông tại H có 3 điểm H, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE (1)

Xét \[\Delta BKE\] vuông tại E có  3 điểm K, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \] 4 điểm H, B, K, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE

Vậy tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có \[\widehat {BHE} + \widehat {EBH} = {90^0}\] (Do \[\Delta BEH\] vuông tại H)

\[\widehat {BAE} + \widehat {EBH} = {90^0}\] (Do \[\Delta ABE\] vuông tại E)

\[ \Rightarrow \widehat {BHE} = \widehat {BAE}\]

Mà \[\widehat {BHE} = \widehat {BKH}\]

Nên \[\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\]

Xét \[\Delta BKH\] và \[\Delta BCA\] có

\[\widehat {ABC}\] chung

 \[\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\] (cmt)

$\Rightarrow \Delta BHK\backsim \Delta BCA$ (g.g)

\[ \Rightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BA}}\]

\[ \Rightarrow BH.BA = BK.BC\]

c) Gọi  I' là giao điểm của \[HK\] và \[EF\]

Xét \[\Delta BEC\] vuông tại E có 3 điểm C, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC (1)

Xét \[\Delta BFC\] vuông tại F có  3 điểm F, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \] 4 điểm C; B; E; F cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Vậy tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{F_1}}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Ta có: \[EH//CF\] (cùng vuông góc với AB)

\[ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{F_1}}\] (so le trong)

\[ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{B_1}}\] (1)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BHEK có: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{H_1}}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EK) (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{H_1}}\]

\[ \Rightarrow \Delta I'HE\] cân tại I’ hay \[I'H = I'E\] (3)

Lại có: \[\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = {90^0}\]

\[\widehat {{F_2}} + \widehat {{E_1}} = {90^0}\] (do \[\Delta HFE\] vuông tại H)

\[ \Rightarrow \widehat {{H_2}} = \widehat {{F_2}}\] hay \[\Delta I'HF\] cân tại I’

\[ \Rightarrow I'H = I'F\]

Từ (3) và (4) \[ \Rightarrow I'E = I'F\]\[ \Rightarrow \] I’ là trung điểm của EF

\[ \Rightarrow \] I trung I’ nên H, I, K thẳng hàng