Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour du lịch xuyên Việt. Công ty dự định nếu giá tour là \(2\) triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham gia. Để kích thích mọi người tham gia, công ty sẽ quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tour \(100\) nghìn đồng thì sẽ có thêm \(20\) người tham gia. Hỏi công ty phải giảm giá tour là bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt là lớn nhất.

Theo định lý Viète ta có \({x_1} + {x_2} = \frac{1}{2},{x_1}{x_2} =  - \frac{1}{4}\)

Ta có: \(A = {({x_1} - {x_2})^2} - {x_1}\left( {{x_1} - \frac{1}{2}} \right) = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - \frac{1}{4}\left( {4x_1^2 - 2{x_1} - 1} \right) - \frac{1}{4}\)

\( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 4.\left( { - \frac{1}{4}} \right) - 0 - \frac{1}{4} = 1\)

a) Xét \[\Delta BHE\] vuông tại H có 3 điểm H, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE (1)

Xét \[\Delta BKE\] vuông tại E có  3 điểm K, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \] 4 điểm H, B, K, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE

Vậy tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có \[\widehat {BHE} + \widehat {EBH} = {90^0}\] (Do \[\Delta BEH\] vuông tại H)

\[\widehat {BAE} + \widehat {EBH} = {90^0}\] (Do \[\Delta ABE\] vuông tại E)

\[ \Rightarrow \widehat {BHE} = \widehat {BAE}\]

Mà \[\widehat {BHE} = \widehat {BKH}\]

Nên \[\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\]

Xét \[\Delta BKH\] và \[\Delta BCA\] có

\[\widehat {ABC}\] chung

 \[\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\] (cmt)

$\Rightarrow \Delta BHK\backsim \Delta BCA$ (g.g)

\[ \Rightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BA}}\]

\[ \Rightarrow BH.BA = BK.BC\]

c) Gọi  I' là giao điểm của \[HK\] và \[EF\]

Xét \[\Delta BEC\] vuông tại E có 3 điểm C, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC (1)

Xét \[\Delta BFC\] vuông tại F có  3 điểm F, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \] 4 điểm C; B; E; F cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Vậy tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{F_1}}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Ta có: \[EH//CF\] (cùng vuông góc với AB)

\[ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{F_1}}\] (so le trong)

\[ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{B_1}}\] (1)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BHEK có: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{H_1}}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EK) (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{H_1}}\]

\[ \Rightarrow \Delta I'HE\] cân tại I’ hay \[I'H = I'E\] (3)

Lại có: \[\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = {90^0}\]

\[\widehat {{F_2}} + \widehat {{E_1}} = {90^0}\] (do \[\Delta HFE\] vuông tại H)

\[ \Rightarrow \widehat {{H_2}} = \widehat {{F_2}}\] hay \[\Delta I'HF\] cân tại I’

\[ \Rightarrow I'H = I'F\]

Từ (3) và (4) \[ \Rightarrow I'E = I'F\]\[ \Rightarrow \] I’ là trung điểm của EF

\[ \Rightarrow \] I trung I’ nên H, I, K thẳng hàng