Cho phương trình \(4{x^2} - 2x - 1 = 0\) có \(2\) nghiệm là \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = {({x_1} - {x_2})^2} - {x_1}\left( {{x_1} - \frac{1}{2}} \right)\).

a) Xét \[\Delta BHE\] vuông tại H có 3 điểm H, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE (1)

Xét \[\Delta BKE\] vuông tại E có  3 điểm K, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \] 4 điểm H, B, K, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE

Vậy tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có \[\widehat {BHE} + \widehat {EBH} = {90^0}\] (Do \[\Delta BEH\] vuông tại H)

\[\widehat {BAE} + \widehat {EBH} = {90^0}\] (Do \[\Delta ABE\] vuông tại E)

\[ \Rightarrow \widehat {BHE} = \widehat {BAE}\]

Mà \[\widehat {BHE} = \widehat {BKH}\]

Nên \[\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\]

Xét \[\Delta BKH\] và \[\Delta BCA\] có

\[\widehat {ABC}\] chung

 \[\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\] (cmt)

$\Rightarrow \Delta BHK\backsim \Delta BCA$ (g.g)

\[ \Rightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BA}}\]

\[ \Rightarrow BH.BA = BK.BC\]

c) Gọi  I' là giao điểm của \[HK\] và \[EF\]

Xét \[\Delta BEC\] vuông tại E có 3 điểm C, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC (1)

Xét \[\Delta BFC\] vuông tại F có  3 điểm F, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \] 4 điểm C; B; E; F cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Vậy tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{F_1}}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Ta có: \[EH//CF\] (cùng vuông góc với AB)

\[ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{F_1}}\] (so le trong)

\[ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{B_1}}\] (1)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BHEK có: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{H_1}}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EK) (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{H_1}}\]

\[ \Rightarrow \Delta I'HE\] cân tại I’ hay \[I'H = I'E\] (3)

Lại có: \[\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = {90^0}\]

\[\widehat {{F_2}} + \widehat {{E_1}} = {90^0}\] (do \[\Delta HFE\] vuông tại H)

\[ \Rightarrow \widehat {{H_2}} = \widehat {{F_2}}\] hay \[\Delta I'HF\] cân tại I’

\[ \Rightarrow I'H = I'F\]

Từ (3) và (4) \[ \Rightarrow I'E = I'F\]\[ \Rightarrow \] I’ là trung điểm của EF

\[ \Rightarrow \] I trung I’ nên H, I, K thẳng hàng

Gọi số lần giảm giá tour là \(x\) lần \(\left( {x \ge 0,x \in \mathbb{N}} \right)\).

Doanh thu sau khi giảm là

\[\left( {150 + 20x} \right)\left( {2000 - 100x} \right) = 300000 - 25000x - 2000{x^2} = 2000\left[ {\frac{{3025}}{{16}} - {{\left( {6.25 - x} \right)}^2}} \right]\]

Nếu \[6.25 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 6.25\]mà \[x \in N\]nên \[x \le 6 \Rightarrow 6.25 - x \ge 6.25 - 6 = \frac{1}{4}\]

\[ \Rightarrow {(6.25 - x)^2} \ge \frac{1}{{16}}\]

\[ \Rightarrow  - {\left( {6.25 - x} \right)^2} \le \frac{{ - 1}}{{16}} \Rightarrow \frac{{3025}}{{16}} - {\left( {6.25 - x} \right)^2} \le \frac{{3024}}{{16}} = 189\]

Vậy doanh thu lớn nhất là \[189\] triệu khi \[x = 8\]lần giảm

Nếu \[6.25 - x \le 0 \Rightarrow x \ge 6.25\]mà \[x \in N\]nên \[x \ge 7 \Rightarrow 6.25 - x \le 6.25 - 7 =  - \frac{1}{4}\]

Suy ra:

\[x - 6.25 \ge \frac{1}{4} \Rightarrow {(x - 6.25)^2} \ge \frac{1}{{16}}\]

\[ \Rightarrow  - {(x - 6.25)^2} \le \frac{{ - 1}}{{16}} \Rightarrow \frac{{3025}}{{16}} - {\left( {6.25 - x} \right)^2} \le \frac{{3024}}{{16}} = 189\]

Vậy doanh thu lớn nhất là \[189\] triệu khi \[x = 7\]

Vậy max là 189 triệu khi \[x = 7\]hoặc \[x = 8\]