Cho hai biểu thức \[P = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x }}{{x - 4}}\] và \[Q = \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}\]  (với \[x \ge 0;x \ne 4\])

1) Tính giá trị của biểu thức \[Q\]khi \[x = 9\]

2) Rút gọn biểu thức \[P\]

3) Biết \[M = \frac{P}{Q}\] . Tìm các giá trị của x để \[M = 18\]

a) Xét \[\Delta BHE\] vuông tại H có 3 điểm H, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE (1)

Xét \[\Delta BKE\] vuông tại E có  3 điểm K, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \] 4 điểm H, B, K, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE

Vậy tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có \[\widehat {BHE} + \widehat {EBH} = {90^0}\] (Do \[\Delta BEH\] vuông tại H)

\[\widehat {BAE} + \widehat {EBH} = {90^0}\] (Do \[\Delta ABE\] vuông tại E)

\[ \Rightarrow \widehat {BHE} = \widehat {BAE}\]

Mà \[\widehat {BHE} = \widehat {BKH}\]

Nên \[\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\]

Xét \[\Delta BKH\] và \[\Delta BCA\] có

\[\widehat {ABC}\] chung

 \[\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\] (cmt)

$\Rightarrow \Delta BHK\backsim \Delta BCA$ (g.g)

\[ \Rightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BA}}\]

\[ \Rightarrow BH.BA = BK.BC\]

c) Gọi  I' là giao điểm của \[HK\] và \[EF\]

Xét \[\Delta BEC\] vuông tại E có 3 điểm C, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC (1)

Xét \[\Delta BFC\] vuông tại F có  3 điểm F, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \] 4 điểm C; B; E; F cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Vậy tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{F_1}}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Ta có: \[EH//CF\] (cùng vuông góc với AB)

\[ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{F_1}}\] (so le trong)

\[ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{B_1}}\] (1)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BHEK có: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{H_1}}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EK) (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{H_1}}\]

\[ \Rightarrow \Delta I'HE\] cân tại I’ hay \[I'H = I'E\] (3)

Lại có: \[\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = {90^0}\]

\[\widehat {{F_2}} + \widehat {{E_1}} = {90^0}\] (do \[\Delta HFE\] vuông tại H)

\[ \Rightarrow \widehat {{H_2}} = \widehat {{F_2}}\] hay \[\Delta I'HF\] cân tại I’

\[ \Rightarrow I'H = I'F\]

Từ (3) và (4) \[ \Rightarrow I'E = I'F\]\[ \Rightarrow \] I’ là trung điểm của EF

\[ \Rightarrow \] I trung I’ nên H, I, K thẳng hàng

Theo định lý Viète ta có \({x_1} + {x_2} = \frac{1}{2},{x_1}{x_2} =  - \frac{1}{4}\)

Ta có: \(A = {({x_1} - {x_2})^2} - {x_1}\left( {{x_1} - \frac{1}{2}} \right) = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - \frac{1}{4}\left( {4x_1^2 - 2{x_1} - 1} \right) - \frac{1}{4}\)

\( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 4.\left( { - \frac{1}{4}} \right) - 0 - \frac{1}{4} = 1\)