Trong không gian \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A( - 1; - 4;4),\,\,B( - 1; - 2;4)\) và \(C(0; - 4;4)\). Mặt phẳng \((P)\) có dạng \(ax + 2025y + cz + d = 0\) đi qua điểm \(A\) sao cho hai điểm \(B,\,\,C\) nằm về cùng một phía. Đặt \({h_1} = d(B,(P))\) là khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \((P)\) và \({h_2} = d(C,(P))\) là khoảng cách từ điểm \(C\)đến mặt phẳng \((P)\). Khi biểu thức \(2025{h_1} + 2026{h_2}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức \(T = - 9a + 10c + d\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: \(12\).

Theo bài ra ta có thể tích của nước trong chậu theo thời gian \(t\) là: \(V\left( t \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}t\,\;\left( l \right)\).

Khi bơm nước vào chậu thì độ cao của nước tăng dần, và mặt nước luôn là tam giác đều.

Ta tính thể tích của nước trong chậu sau khi bơm được \(t\) phút, với độ cao \(0 \le x \le h\), mặt nước là tam giác đều cạnh \(a\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,a = 2}\\{x = 3,\,a = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow a = x + 2\).

Diện tích của mặt nước \(S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {x + 2} \right)^2}\).

Thể tích nước có trong chậu là: \(V\left( h \right) = \int\limits_0^h {\frac{{\sqrt 3 }}{4}{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \,{\rm{d}}x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}h\\0\end{array}} \right. = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left[ {{{\left( {h + 2} \right)}^3} - 8} \right]\).

Vậy \(\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left[ {{{\left( {h + 2} \right)}^3} - 8} \right] = \frac{{\sqrt 3 }}{3}t \Leftrightarrow {\left( {h + 2} \right)^3} = 8 + 4t \Rightarrow h = \sqrt[3]{{8 + 4t}} - 2\).

Ta có: \(h'\left( t \right) = \frac{4}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {8 + 4t} \right)}^{ - 2}}}}\).

\( \Rightarrow h'\left( {14} \right) = \frac{1}{{12}} \Rightarrow a = 12\).

Đáp án: 4,86.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có \(\widehat {SCH} = 60^\circ \), \(OC = 3\sqrt 3 \), \(HC = \sqrt {28} \), \(SH = \sqrt {84} \).

\(A\left( { - 3;0;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right),\,C\left( {0;3\sqrt 3 ;0} \right)\), \(H\left( {1;0;0} \right)\), \(S\left( {1;0;\sqrt {84} } \right)\).

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa \(SA\) và song song với \(BC\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  = \left( { - 4;0; - \sqrt {84} } \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;3\sqrt 3 ;0} \right)\\\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18\sqrt 7 ;6\sqrt {21} ; - 12\sqrt 3 } \right)\end{array}\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \(18\sqrt 7 x + 6\sqrt {21} y - 12\sqrt 3 z + 54\sqrt 7  = 0\).

\(d\left( {BC,SA} \right) = d\left( {B,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {18\sqrt 7  \times 3 + 54\sqrt 7 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {18\sqrt 7 } \right)}^2} + {{\left( {6\sqrt {21} } \right)}^2} + {{\left( { - 12\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{108\sqrt 7 }}{{\sqrt {3456} }} = \frac{{3\sqrt {42} }}{4} \approx 4,86\).