Thống kê điểm thi tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2024 của lớp 12D tại một trường THPT thu được kết quả như sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu thống kê trên bằng

Đáp án: 160.

Gọi mặt hồ bơi là một miền phẳng \(D\) trên hệ trục tọa độ\(Oxy\). Theo dữ kiện đề bài, miền \(D\) được giới hạn bởi các đường:

● Trục\(Ox\): \(y = 0\)

● Trục\(Oy\): \(x = 0\)

● Đường thẳng: \(x = 12\)

● Đường cong: \(y =  - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\)

Do đó, với một vị trí có hoành độ \(x \in \left[ {0,12} \right]\), chiều rộng của hồ bơi chính là tung độ của đường cong \(y = f\left( x \right) =  - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\).

Tại vị trí có hoành độ \(x\), độ sâu của hồ bơi chỉ phụ thuộc vào hoành độ và được cho bởi công thức: \(h\left( x \right) = \frac{1}{4}x + 1\).

Khi cắt hồ bơi bởi một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\), ta được thiết diện là một hình chữ nhật có chiều rộng là \(f\left( x \right)\) và chiều dài  là \(h\left( x \right)\). Diện tích thiết diện này là: \(S\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot h\left( x \right)\)

Do đó ta có

\(S\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4} \right)\left( {\frac{1}{4}x + 1} \right)\)\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{1}{6}{x^2} + \frac{2}{3}x + x + 4\)

\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} + \left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{{18}}} \right){x^2} + \left( {\frac{2}{3} + 1} \right)x + 4\)

\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} + \frac{1}{9}{x^2} + \frac{5}{3}x + 4\)

Thể tích khối nước trong hồ chính là tích phân của diện tích thiết diện \(S\left( x \right)\) trên đoạn từ \(x = 0\) đến \(x = 12\):

\(V = \int_0^{12} S \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \int_0^{12} {\left( { - \frac{1}{{72}}{x^3} + \frac{1}{9}{x^2} + \frac{5}{3}x + 4} \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 160\).

Kết luận: Thể tích nước tối đa mà hồ bơi có thể chứa là \(160\,\,{{\rm{m}}^3}\).

Đáp án: 8,2.

Số cách chọn \(5\) chữ số phân biệt từ \(1\) đến \(9\) là \(n\left( \Omega  \right) = A_9^5 = 15120\).

Trong tập hợp \(\left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) có \(4\) số chẵn và \(5\) số lẻ.

Ta xét các trường hợp mật khẩu thỏa mãn với dãy các số tăng dần:

+ Chọn \(4\) số chẵn và \(1\) số lẻ bất kỳ có \(C_4^4C_5^1 = 5\) cách.

+ Chọn \(3\) số chẵn và \(2\) số lẻ đặt vào “vách ngăn” giữa các số chẵn, nhưng luôn có một “vách ngăn” đặt được \(2\) số lẻ liên tiếp nên có \(C_4^3\left( {C_5^2 - 1} \right) = 36\) cách.

+ Chọn \(2\) số chẵn và \(3\) số lẻ:

Ÿ Với các cặp \(\left\{ {2;4} \right\}\), \(\left\{ {2;8} \right\}\) và \(\left\{ {6;8} \right\}\): Có.\(1 \times 1 \times 3 = 3\). cách mỗi cặp.

Ÿ Với các cặp \(\left\{ {2;6} \right\}\), \(\left\{ {4;6} \right\}\) và \(\left\{ {4;8} \right\}\): Có \(1 \times 2 \times 2 = 4\) cách mỗi cặp.

Ÿ Vậy có tất cả \(3 \times 3 + 3 \times 4 = 21\) cách.

Số các mật khẩu thỏa mãn là \(n\left( A \right) = \left( {5 + 36 + 21} \right) \times 2 = 124\) cách.

Vậy \(a \times {10^{ - 3}} = \frac{{124}}{{15120}} = \frac{{31}}{{3780}} \Rightarrow a = \frac{{1550}}{{189}} \approx 8,2\).