Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là

Đáp án: 160.

Gọi mặt hồ bơi là một miền phẳng \(D\) trên hệ trục tọa độ\(Oxy\). Theo dữ kiện đề bài, miền \(D\) được giới hạn bởi các đường:

● Trục\(Ox\): \(y = 0\)

● Trục\(Oy\): \(x = 0\)

● Đường thẳng: \(x = 12\)

● Đường cong: \(y =  - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\)

Do đó, với một vị trí có hoành độ \(x \in \left[ {0,12} \right]\), chiều rộng của hồ bơi chính là tung độ của đường cong \(y = f\left( x \right) =  - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\).

Tại vị trí có hoành độ \(x\), độ sâu của hồ bơi chỉ phụ thuộc vào hoành độ và được cho bởi công thức: \(h\left( x \right) = \frac{1}{4}x + 1\).

Khi cắt hồ bơi bởi một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\), ta được thiết diện là một hình chữ nhật có chiều rộng là \(f\left( x \right)\) và chiều dài  là \(h\left( x \right)\). Diện tích thiết diện này là: \(S\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot h\left( x \right)\)

Do đó ta có

\(S\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4} \right)\left( {\frac{1}{4}x + 1} \right)\)\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{1}{6}{x^2} + \frac{2}{3}x + x + 4\)

\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} + \left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{{18}}} \right){x^2} + \left( {\frac{2}{3} + 1} \right)x + 4\)

\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} + \frac{1}{9}{x^2} + \frac{5}{3}x + 4\)

Thể tích khối nước trong hồ chính là tích phân của diện tích thiết diện \(S\left( x \right)\) trên đoạn từ \(x = 0\) đến \(x = 12\):

\(V = \int_0^{12} S \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \int_0^{12} {\left( { - \frac{1}{{72}}{x^3} + \frac{1}{9}{x^2} + \frac{5}{3}x + 4} \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 160\).

Kết luận: Thể tích nước tối đa mà hồ bơi có thể chứa là \(160\,\,{{\rm{m}}^3}\).

Quy ước \(1\) đơn vị độ dài trên hệ trục tọa độ tương ứng với \(100m\) thực tế.

Dựa vào giả thiết hệ trục \(Oxyz\), ta có:

Điểm \(A\) cao \(100\,{\rm{m}}\), cách vị trí ban đầu \(200\,\,{\rm{m}}\)về phía Đông và \(100\,\,{\rm{m}}\) về phía Nam \( \Rightarrow A\left( {2;1;1} \right)\)

Điểm \(B\) cao \(300\,\,{\rm{m}}\), cách vị trí ban đầu \(140\,\,{\rm{m}}\)về phía Tây  và \(200\,\,{\rm{m}}\)về phía Nam \( \Rightarrow B\left( { - 1,4;2;3} \right)\) hay \(B\left( { - \frac{7}{5};2;3} \right)\).

Điểm \(P\) nằm trên mặt đất \( \Rightarrow P\left( {a;b;0} \right)\).

Drone di chuyển từ \(P\) theo hướng Tây 40m đến \(Q\), tức là di chuyển ngược chiều trục \(Ox\). Ta có vectơ độ dời \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 0,4;0;0} \right) = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right)\).

Tổng quãng đường bay là \(d = AP + QB\).

Gọi \(A'\) là ảnh của điểm \(A\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {PQ} \).

Ta có \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {PQ}  = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right) \Rightarrow A'\left( {2 - \frac{2}{5};1;1} \right)\) hay \(A'\left( {\frac{8}{5};1;1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {PQ} \) nên tứ giác \(AA'QP\) là hình bình hành, suy ra \(AP = A'Q\).

Khi đó, tổng quãng đường bay trở thành: \(d = A'Q + QB\).

Ta cần tìm vị trí điểm \(Q \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(A'Q + QB\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Nhận thấy cao độ của \(A'\) và \(B\) là \({z_{A'}} = 1 > 0\) và \({z_B} = 3 > 0\), nên \(A'\) và \(B\) nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(A''\) là điểm đối xứng của \(A'\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

\( \Rightarrow A''\left( {\frac{8}{5};1; - 1} \right)\).

Với mọi điểm \(Q \in \left( {Oxy} \right)\), ta luôn có \(A'Q = A''Q\).

Do đó: \(d = A'Q + QB = A''Q + QB \ge A''B\).

Dấu “=” xảy ra  khi và chỉ khi 3 điểm \(A'',Q,B\) thẳng hàng, hay điểm \(Q\) là giao điểm của đường thẳng \(A''B\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng \(A''B\) là \[\overrightarrow {A''B}  = \left( { - \frac{7}{5} - \frac{8}{5};2 - 1;3 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 3;1;4} \right)\].

Phương trình tham số của đường thẳng \(A''B\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{8}{5} - 3t}\\{y = 1 + t}\\{z =  - 1 + 4t}\end{array}} \right.\).

Vì \(Q \in \left( {Oxy} \right)\) nên \({z_Q} = 0 \Leftrightarrow  - 1 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}\).

Thay \(t = \frac{1}{4}\) vào phương trình tham số, ta tìm được tọa độ điểm \(Q\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_Q} = \frac{8}{5} - 3\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{{17}}{{20}}}\\{{y_Q} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}}\\{{z_Q} = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow Q\left( {\frac{{17}}{{20}};\frac{5}{4};0} \right)\).

Do \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - \frac{2}{5};0;0} \right) \Rightarrow P\left( {\frac{{17}}{{20}} + \frac{2}{5};\frac{5}{4};0} \right)\) hay \(P\left( {\frac{5}{4};\frac{5}{4};0} \right)\).

Suy ra \(a = \frac{5}{4} = 1,25\), \(b = \frac{5}{4} = 1,25\) và \(c = 0\).

Giá trị của biểu thức là: \(S = 2a + 4b + c = 2.1,25 + 4.1,25 + 0 = 7,5\).