Một chất điểm \[A\] xuất phát từ \[O\], chuyển động với vận tốc biến thiên theo thời gian theo quy luật \[v\left( t \right) = \frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}t\;\left( {m/s} \right)\], trong đó \[t\](giây) là khoảng thời gian tính từ lúc \[A\] bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \[B\] cũng xuất phát từ \[O\], chuyển động thẳng cùng hướng với \[A\] nhưng chậm hơn \[3\] giây so với \[A\] và có gia tốc bằng \[a\] \[\left( {m/{s^2}} \right)\] ( với \[a\] là hằng số ). Sau khi \[B\] xuất phát được \[15\] giây thì đuổi kịp \[A\]. Vận tốc của \[B\] tại thời điểm đuổi kịp \[A\] bằng \[b\;\left( {m/s} \right)\]. Tính \[b\].

Đáp án: 5184.

Chia các số đã cho thành 3 nhóm

\(A = \left\{ {3;6;9} \right\}\)

\(B = \left\{ {1;4;7} \right\}\)

\(C = \left\{ {2;5;8} \right\}\)

Có tất cả 3 trường hợp thoả mãn yêu cầu.

Trường hợp 1: Các số trên cùng một hàng ngang thuộc cùng một nhóm.

Xếp ba số của nhóm \(A\) vào hàng thứ nhất rồi đổi chỗ các chữ số cho nhau, có \(3!\)cách sắp xếp.

Xếp ba số của nhóm \(B\) vào hàng thứ hai rồi đổi chỗ các chữ số cho nhau, có \(3!\)cách sắp xếp.

Xếp ba số của nhóm \(C\) vào hàng thứ ba rồi đổi chỗ các chữ số cho nhau, có \(3!\)cách sắp xếp.

Ba nhóm \(A,B,C\) có \(3!\) cách đổi chỗ.

Theo quy tắc nhân, ta có \(3! \times 3! \times 3! \times 3! = 1296\) cách.

Trường hợp 2: Các số trên cùng một hàng dọc thuộc cùng một nhóm.

Tương tự như trường hợp 1 nhưng đổi vai trò của hàng và cột.

Ta cũng có số cách xếp là \(3! \times 3! \times 3! \times 3! = 1296\) cách.

Trường hợp 3: Mỗi hàng ngang và mỗi hàng dọc đều chứa đúng 3 phần tử của 3 nhóm khác nhau

- Bước 1: Xếp vị trí các nhóm. Giả sử kí hiệu A, B, C lần lượt là vị trí để xếp số của nhóm A, B, C.

+ Hàng 1: Có \(3! = 6\) cách xếp các kí hiệu A, B, C vào hàng 1.

+ Ứng với mỗi cách xếp của hàng 1, ta có 2 cách xếp cho hàng 2 và 3.

 Ví dụ: Hàng 1 xếp là A, B, C thì có 2 cách xếp như sau

 Cách 1:

Cách 2:

Vậy có tất cả \(6.2 = 12\) cách xếp cho Bước 1.

Bước 2: Xếp các số của mỗi nhóm vào đúng vị trí của nhóm mình

Có \(3!\) cách xếp các số của nhóm A, \(3!\) cách xếp các số của nhóm B, \(3!\) cách xếp các số của nhóm C.

Vậy Bước 2 có \(3!.3!.3! = 216\) cách xếp.

Vậy Trường hợp 3 có \(12.216 = 2592\) cách xếp.

Ta có \(M\left( t \right) = \frac{1}{3}a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C\)  và do \(M\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\), vậy \(M\left( t \right) = \frac{1}{3}a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}\).

Do \(M\left( {10} \right) = 18\) nên \(\frac{1}{3}a{.10^3} + \frac{1}{2}b{.10^2} = 18\quad \left( 1 \right)\).

Do hàm bậc hai \(M'\left( t \right) = a{t^2} + bt\) đạt cực đại tại \(t = 40\) nên \( - \frac{b}{{2a}} = 40\quad \left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2), suy ra \(a =  - \frac{{27}}{{5\;500}};b = \frac{{108}}{{275}}\). Do đó \(M'\left( t \right) =  - \frac{{27}}{{5\;500}}{t^2} + \frac{{108}}{{275}}t\)

Trong tiết học, tức là từ thời điểm \(n = 0\) đến thời điểm \(m = 60\).  Khi đó

\(\frac{{M\left( {60} \right) - M\left( 0 \right)}}{{60 - 0}} = \frac{1}{{60}}\int\limits_0^{60} {M'\left( t \right)dt}  = \frac{1}{{60}}\int\limits_0^{60} {\left( { - \frac{{27}}{{5\;500}}{t^2} + \frac{{108}}{{275}}t} \right)dt}  = \frac{{324}}{{55}} \approx 5,9 < 6\).

a) Khẳng định: Sai.

b) Khẳng định: Sai

c) Khẳng định: Đúng

d) Khẳng định: Đúng