Một chất điểm \[A\] xuất phát từ \[O\], chuyển động với vận tốc biến thiên theo thời gian theo quy luật \[v\left( t \right) = \frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}t\;\left( {m/s} \right)\], trong đó \[t\](giây) là khoảng thời gian tính từ lúc \[A\] bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \[B\] cũng xuất phát từ \[O\], chuyển động thẳng cùng hướng với \[A\] nhưng chậm hơn \[3\] giây so với \[A\] và có gia tốc bằng \[a\] \[\left( {m/{s^2}} \right)\] ( với \[a\] là hằng số ). Sau khi \[B\] xuất phát được \[15\] giây thì đuổi kịp \[A\]. Vận tốc của \[B\] tại thời điểm đuổi kịp \[A\] bằng \[b\;\left( {m/s} \right)\]. Tính \[b\].

Đáp án: \(80\).

Quả bóng rơi xuống tại điểm \[A\left( {\sqrt {20} ;0,5;0} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right):x + by + cz + d = 0\] đi qua \[O\] nên \[d = 0\], điểm \[A\left( {\sqrt {20} ;0,5;0} \right)\] thuộc \[\left( \alpha  \right)\] nên có \[\sqrt {20}  + 0,5b = 0 \Leftrightarrow b =  - 4\sqrt 5 \].

Mặt khác \[\left( \alpha  \right)\] vuông góc với mặt đất nên \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} \bot {\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} \Leftrightarrow {\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}}.\overrightarrow k  = 0 \Leftrightarrow c = 0\].

Vậy mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] có phương trình là \[\left( \alpha  \right):x - 4\sqrt 5 y = 0\].

Vậy \[T = {b^2} + c + d = 80\].

Ta có \(M\left( t \right) = \frac{1}{3}a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C\)  và do \(M\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\), vậy \(M\left( t \right) = \frac{1}{3}a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}\).

Do \(M\left( {10} \right) = 18\) nên \(\frac{1}{3}a{.10^3} + \frac{1}{2}b{.10^2} = 18\quad \left( 1 \right)\).

Do hàm bậc hai \(M'\left( t \right) = a{t^2} + bt\) đạt cực đại tại \(t = 40\) nên \( - \frac{b}{{2a}} = 40\quad \left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2), suy ra \(a =  - \frac{{27}}{{5\;500}};b = \frac{{108}}{{275}}\). Do đó \(M'\left( t \right) =  - \frac{{27}}{{5\;500}}{t^2} + \frac{{108}}{{275}}t\)

Trong tiết học, tức là từ thời điểm \(n = 0\) đến thời điểm \(m = 60\).  Khi đó

\(\frac{{M\left( {60} \right) - M\left( 0 \right)}}{{60 - 0}} = \frac{1}{{60}}\int\limits_0^{60} {M'\left( t \right)dt}  = \frac{1}{{60}}\int\limits_0^{60} {\left( { - \frac{{27}}{{5\;500}}{t^2} + \frac{{108}}{{275}}t} \right)dt}  = \frac{{324}}{{55}} \approx 5,9 < 6\).

a) Khẳng định: Sai.

b) Khẳng định: Sai

c) Khẳng định: Đúng

d) Khẳng định: Đúng