Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(BD\).    

Theo bài ra ta có: \[AB = 10\left( m \right) \Rightarrow OA = OB = 5\left( m \right)\]

Đặt \[MN = 2a\,\left( m \right)\] với \[0 < a < 5\], khi đó ta có: \[OM = ON = a\left( m \right)\].

Phương trình đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\] là: \[{x^2} + {y^2} = 25 \Rightarrow {y^2} = 25 - {x^2}\].

Do ta chỉ xét nửa đường tròn có tung độ dương nên suy ra \[y = \sqrt {25 - {x^2}} \].

Từ hệ trục \[Oxy\], suy ra tọa độ các điểm: \[O\left( {0;0} \right)\], \[A\left( { - 5;0} \right)\], \[B\left( {5;0} \right)\], \[M\left( { - a;0} \right)\], \[N\left( {a;0} \right)\].

Do \[Q\] và \[P\] là hai điểm thuộc nửa đường tròn, suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}{y_Q} = \sqrt {25 - x_Q^2} \\{y_P} = \sqrt {25 - x_P^2} \end{array} \right.\].

Mà \[{x_Q} = {x_M} = a\] và \[{x_P} = {x_N} = a\] suy ra \[Q\left( { - a;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\], \[P\left( {a;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\].

Có: \[MN = 2a\left( m \right)\], \[MQ = \sqrt {25 - {a^2}} \,\left( m \right)\].

Diện tích của phần trồng hoa (hình chữ nhật) là: \[{S_1} = MN \cdot MQ = 2a \cdot \sqrt {25 - {a^2}} \]

Diện tích của nửa hình tròn là: \[S = \frac{1}{2}\pi {r^2} = \frac{1}{2}\pi  \cdot {5^2} = \frac{{25\pi }}{2}\].

Diện tích phần trồng cỏ Nhật là: \[{S_2} = S - {S_1} = \frac{{25\pi }}{2} - 2a\sqrt {25 - {a^2}} \].

Chi phí để hoàn thành là: \[T\left( a \right) = 100{S_1} + 150{S_2} = 100 \cdot 2a\sqrt {25 - {a^2}}  + 150 \cdot \left( {\frac{{25\pi }}{2} - 2a\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\]

\[ \Rightarrow T\left( a \right) = 200a\sqrt {25 - {a^2}}  + 1875\pi  - 300a\sqrt {25 - {a^2}} \]\[ \Rightarrow T\left( a \right) =  - 100a\sqrt {25 - {a^2}}  + 1875\pi \].

Xét hàm số: \[f\left( a \right) =  - 100a\sqrt {25 - {a^2}}  + 1875\pi  \Rightarrow f'\left( a \right) = \frac{{ - 2500 + 200{a^2}}}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}\].

Xét \[f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2500 + 200{a^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} = 12,5 \Leftrightarrow a = \sqrt {12,5}  = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\].

Ta có bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy chi phí thấp nhất là \[{T_{\min }} = T\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right) \approx 4640\] (nghìn đồng).

Đáp án cần nhập là: 4640.

Ta có \(f'\left( 1 \right) = 2\), ta được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{x - 1}} = 2\).

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{f^2}\left( x \right) - 9}}{{x - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {f\left( x \right) - 3} \right]\left[ {f\left( x \right) + 3} \right]}}{{x - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {f\left( x \right) - 3} \right]}}{{x - 1}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + 3} \right]\)

\( = 2\left[ {f\left( 1 \right) + 3} \right] = 2 \cdot \left( {3 + 3} \right) = 12\). Chọn A.