Một bệnh viện đang triển khai hệ thống xét nghiệm để phát hiện bệnh truyền nhiễm. Tuy nhiên, do hệ thống chưa hoàn hảo, nó có thể cho kết quả dương tính giả hoặc âm tính giả. Hệ thống hoạt động với các thông số sau:

+) Tỉ lệ bệnh nhân thực sự mắc bệnh trong tổng số người xét nghiệm là 5%.

+) Xác suất hệ thống phát hiện đúng và cho kết quả dương tính với bệnh nhân mắc bệnh là 94%.

+) Xác suất hệ thống cho kết quả dương tính giả đối với bệnh nhân không mắc bệnh là 3%.

Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân đã được xét nghiệm. Những phương án nào dưới đây đúng?

Theo bài ra ta có: \[AB = 10\left( m \right) \Rightarrow OA = OB = 5\left( m \right)\]

Đặt \[MN = 2a\,\left( m \right)\] với \[0 < a < 5\], khi đó ta có: \[OM = ON = a\left( m \right)\].

Phương trình đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\] là: \[{x^2} + {y^2} = 25 \Rightarrow {y^2} = 25 - {x^2}\].

Do ta chỉ xét nửa đường tròn có tung độ dương nên suy ra \[y = \sqrt {25 - {x^2}} \].

Từ hệ trục \[Oxy\], suy ra tọa độ các điểm: \[O\left( {0;0} \right)\], \[A\left( { - 5;0} \right)\], \[B\left( {5;0} \right)\], \[M\left( { - a;0} \right)\], \[N\left( {a;0} \right)\].

Do \[Q\] và \[P\] là hai điểm thuộc nửa đường tròn, suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}{y_Q} = \sqrt {25 - x_Q^2} \\{y_P} = \sqrt {25 - x_P^2} \end{array} \right.\].

Mà \[{x_Q} = {x_M} = a\] và \[{x_P} = {x_N} = a\] suy ra \[Q\left( { - a;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\], \[P\left( {a;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\].

Có: \[MN = 2a\left( m \right)\], \[MQ = \sqrt {25 - {a^2}} \,\left( m \right)\].

Diện tích của phần trồng hoa (hình chữ nhật) là: \[{S_1} = MN \cdot MQ = 2a \cdot \sqrt {25 - {a^2}} \]

Diện tích của nửa hình tròn là: \[S = \frac{1}{2}\pi {r^2} = \frac{1}{2}\pi  \cdot {5^2} = \frac{{25\pi }}{2}\].

Diện tích phần trồng cỏ Nhật là: \[{S_2} = S - {S_1} = \frac{{25\pi }}{2} - 2a\sqrt {25 - {a^2}} \].

Chi phí để hoàn thành là: \[T\left( a \right) = 100{S_1} + 150{S_2} = 100 \cdot 2a\sqrt {25 - {a^2}}  + 150 \cdot \left( {\frac{{25\pi }}{2} - 2a\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\]

\[ \Rightarrow T\left( a \right) = 200a\sqrt {25 - {a^2}}  + 1875\pi  - 300a\sqrt {25 - {a^2}} \]\[ \Rightarrow T\left( a \right) =  - 100a\sqrt {25 - {a^2}}  + 1875\pi \].

Xét hàm số: \[f\left( a \right) =  - 100a\sqrt {25 - {a^2}}  + 1875\pi  \Rightarrow f'\left( a \right) = \frac{{ - 2500 + 200{a^2}}}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}\].

Xét \[f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2500 + 200{a^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} = 12,5 \Leftrightarrow a = \sqrt {12,5}  = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\].

Ta có bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy chi phí thấp nhất là \[{T_{\min }} = T\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right) \approx 4640\] (nghìn đồng).

Đáp án cần nhập là: 4640.

Ta có \(f'\left( 1 \right) = 2\), ta được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{x - 1}} = 2\).

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{f^2}\left( x \right) - 9}}{{x - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {f\left( x \right) - 3} \right]\left[ {f\left( x \right) + 3} \right]}}{{x - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {f\left( x \right) - 3} \right]}}{{x - 1}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + 3} \right]\)

\( = 2\left[ {f\left( 1 \right) + 3} \right] = 2 \cdot \left( {3 + 3} \right) = 12\). Chọn A.