Dựa vào thông tin dưới đây, thí sinh lựa chọn một phương án đúng theo yêu cầu từ câu 26 đến câu 27.

Trong năm 2024, số lượng cá thể của một quần thể sinh vật X tại ngày thứ \(t\)(\(0 \le t \le 365\)) được ước lượng bởi hàm số: \(f\left( t \right) =  - \frac{1}{{300}}{t^3} + b{t^2} + ct + 12000\) (con). Biết rằng vào ngày 26/9/2024 (ngày thứ 270), quần thể đạt số lượng cá thể nhiều nhất với \(55\;740\) con.

Gọi \(v\left( t \right)\)là tốc độ thay đổi quy mô quần thể tại thời điểm \(t\). Dựa vào các dữ liệu đã cho, nhận xét nào sau đây phản ánh đúng nhất về sự biến động của quần thể sinh vật X?    

1. Đúng.  Có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{6} \cdot 2a \cdot {\left( {2a} \right)^2} = \frac{{4{a^3}}}{3}\).

2. Sai. Hạ \(AH \bot SB\)(1).

Có \(BC \bot AB\) và \(BC \bot SA\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Do đó \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt 2 \).

3. Đúng. Có \(SA \bot AB,AB \bot BC\) nên \(d\left( {SA,BC} \right) = AB = 2a\).

4. Sai. Có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AM\) là hình chiếu vuông góc của \(SM\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Khi đó \(\left( {SM,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SM,AM} \right) = \widehat {SMA}\).

Vì \(M\)là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = MC = a\).

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(B\), có \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}}  = \sqrt {4{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 5 \).

Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \widehat {SMA} \approx 42^\circ \).

5. Sai.

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), kẻ \(ME//CN\left( {E \in AB} \right)\) \( \Rightarrow CN//\left( {SME} \right)\).

Khi đó \(d\left( {SM,CN} \right) = d\left( {CN,\left( {SME} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {SME} \right)} \right)\).

Lại có \(\frac{{d\left( {N,\left( {SME} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right)}} = \frac{{NE}}{{AE}} = \frac{{\frac{1}{2}NB}}{{\frac{7}{2}NB}} = \frac{1}{7}\).

Kẻ \(AK \bot ME\), Kẻ \(AJ \bot SK\)(3).

Có \(AK \bot ME\) mà \(ME \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\) nên \(ME \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow ME \bot AJ\) (4).

Từ (3) và (4), suy ra \(AJ \bot \left( {SME} \right)\).

Khi đó \(d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right) = AJ\).

Có \({S_{\Delta AME}} = \frac{1}{2}MB \cdot AE = \frac{1}{2}MB \cdot \frac{7}{8}AB = \frac{7}{{16}} \cdot a \cdot 2a = \frac{7}{8}{a^2}\).

Có \(CN = \sqrt {B{C^2} + B{N^2}}  = \sqrt {4{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\).

Có \(ME\) là đường trung bình của \(\Delta BCN\) nên \(ME = \frac{1}{2}CN = \frac{{a\sqrt {17} }}{4}\).

Lại có \({S_{\Delta AME}} = \frac{1}{2}AK \cdot ME = \frac{7}{8}{a^2} \Rightarrow AK = \frac{{7a}}{{\sqrt {17} }}\).

Xét \(\Delta SAK\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{J^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{{17}}{{49{a^2}}} = \frac{{117}}{{196{a^2}}}\)\( \Rightarrow AJ = \frac{{14a\sqrt {13} }}{{39}}\).

Suy ra \(d\left( {N,\left( {SME} \right)} \right) = \frac{1}{7}d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right) = \frac{1}{7} \cdot \frac{{14a\sqrt {13} }}{{39}} = \frac{{2a\sqrt {13} }}{{39}}\). Chọn 1, 3.

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD \bot AC\) mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\).

Do đó \(\left( {SC,BD} \right) = 90^\circ \). Chọn D.