Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 - \sqrt 2 } \right)y = \,5\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)y = 3\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

a) Nhân phương trình thứ nhất với \( - \sqrt 2 \), ta được:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - 3y = 1\\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3\sqrt 2 y = - \sqrt 2 \\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l} - 4\sqrt 2 y = - \sqrt 2 - 2\\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}y\\y = \frac{{ - 1 - \sqrt 2 }}{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{4} + \frac{{\sqrt 2 }}{8}\\y = - \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Hệ có nghiệm duy nhất \[\left( { - \frac{3}{4} + \frac{{\sqrt 2 }}{8};\, - \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)\]

b)      Nhân phương trình thứ nhất với \(\sqrt 2 \) rồi cộng từng vế hai phương trình, ta được:

\(5x\sqrt 6 + x\sqrt 6 = 6\) hay \(x = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Từ đó, hệ đã cho tương đương với

 \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\\y = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}\]

Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}\,;\, - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)