Một ôtô dự định đi từ \(A\) đến \(B\) trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10 km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB.

Gọi vận tốc xe thường ngày là \(x(km/h),x > 0;\)

Quãng đường từ nhà của bạn An đến trường là\(y(km)\,(\,y > 0\,)\)

Theo đề ta có phương trình \(\frac{y}{x} = \frac{1}{2}\).

Do ba bạn An tăng vận tốc lên \(15(km/h)\) và đến sớm hơn 10 phút nên \(\frac{y}{{x + 15}} = \frac{1}{3}\).

Từ đó ta có hệ phương trình

 \[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{y}{x} = \frac{1}{2}}\\{\frac{y}{{x + 15}} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 30}\\{y = 15{\rm{ }}}\end{array}} \right.\end{array}\]

Vậy quãng đường từ nhà của bạn An đến trường là 15 km.

Gọi \[x\] (km) là độ dài quãng đường \[AB\] và \[y\] (giờ) là thời gian dự định đi để đến \[B\] đúng lúc \[12\] giờ trưa \[\left( {x,\,y > 0} \right)\].

Thời gian ô tô đến \[B\] khi chạy với vận tốc \[35\,\,km/h\] là \[y + 2\] nên ta có : \[x = 35\left( {y + 2} \right)\]     (1)

Thời gian ô tô đến \[B\] khi chạy với vận tốc \[50\,\,km/h\] là \[y - 1\] nên \[x = 50\left( {y - 1} \right)\]                (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 35\left( {y + 2} \right)\\x = 50\left( {y - 1} \right)\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình ta có nghiệm \[\left( {x,\,y} \right) = \left( {350;\,8} \right)\].

Vậy \[AB = 350km\], ô tô xuất phát từ \[A\] lúc \[4\] giờ sáng.