Mỗi ngày ba của bạn An chở bạn ấy từ nhà đến trường mất 30 phút. Vì hôm nay là ngày thi tuyển sinh nên ba bạn ấy muốn con mình đến trường sớm hơn, do đó ông ấy đã tăng vận tốc xe lên \(15(km/h)\) và đến sớm hơn thường ngày là 10 phút. Hỏi quãng đường từ nhà của bạn An đến trường là bao nhiêu km ?

Gọi \[x\] (km) là độ dài quãng đường \[AB\] và \[y\] (giờ) là thời gian dự định đi để đến \[B\] đúng lúc \[12\] giờ trưa \[\left( {x,\,y > 0} \right)\].

Thời gian ô tô đến \[B\] khi chạy với vận tốc \[35\,\,km/h\] là \[y + 2\] nên ta có : \[x = 35\left( {y + 2} \right)\]     (1)

Thời gian ô tô đến \[B\] khi chạy với vận tốc \[50\,\,km/h\] là \[y - 1\] nên \[x = 50\left( {y - 1} \right)\]                (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 35\left( {y + 2} \right)\\x = 50\left( {y - 1} \right)\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình ta có nghiệm \[\left( {x,\,y} \right) = \left( {350;\,8} \right)\].

Vậy \[AB = 350km\], ô tô xuất phát từ \[A\] lúc \[4\] giờ sáng.

Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là \[x\] (cm/s) và \[y\] (cm/s) \[\left( {x > y > 0} \right)\].

Khi chuyển động cùng chiều, cứ \[20\] giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là quãng đường mà vật đi nhanh hơn đi được trong \[20\] giây hơn quãng đường vật kia cũng đi trong \[20\] giây là đúng \[1\] vòng \[\left( { = 20\pi \,cm} \right)\]. Ta có phương trình \[20\left( {x - y} \right) = 20\pi \]                                                        (1)

Khi chuyển động ngược chiều, cứ \[4\] giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được trong \[4\] giây là đúng một vòng. Ta có phương trình \[4\left( {x + y} \right) = 20\pi \]        (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}20\left( {x - y} \right) = 20\pi \\4\left( {x + y} \right) = 20\pi \end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x - y = \pi \\x + y = 5\pi \end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\pi \\y = 2\pi \end{array} \right.\]

Vậy vận tốc của mỗi vật là \[3\pi \,cm/s\] và \[2\pi \,cm/s\].