Số tiền mua \[9\] quả thanh yên và \[8\] quả táo rừng thơm là \[107\] rupi. Số tiền mua \[7\] quả thanh yên và \[7\] quả táo rừng thơm là \[91\] rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo là bao nhiêu rupi ?

Gọi số lượng quýt, cam lần lượt là \[x,{\rm{ }}y\]\[\left( {x,\,y > 0} \right)\]

Ta có hệ phương trình :

\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 17\\3x + 10y = 100\end{array} \right.\]    

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 7\end{array} \right.\]

Vậy số quýt là \[10\] quả và cam là \[7\] quả.

Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là \[x\] (cm) và \[y\] (cm) \[\left( {x > 0,\,y > 0} \right)\].

Khi đó, diện tích tam giác là \[\frac{1}{2}xy\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Nếu tăng mỗi cạnh lên \[3\]cm thì diện tích tam giác là \[\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right)\], ta có phương trình :

                                      \[\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}xy + 36\]                    (1)

Nếu một cạnh giảm đi \[2\]cm, cạnh kia giảm đi \[4\]cm thì diện tích tam giác là \[\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right)\]. Khi đó ta có :

                                      \[\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = \frac{1}{2}xy - 26\]                    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}xy + 36\\\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = \frac{1}{2}xy - 26\end{array} \right.\]  

\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 72\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = xy - 52\end{array} \right.\]  

\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 21\\2x + y = 30\end{array} \right.\]  

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 12\end{array} \right.\]

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là \[9\]cm và \[12\]cm.