Trong quá trình thiết kế một cây cầu treo bắc qua thung lũng, các kỹ sư mô phỏng sợi dây cáp chính bằng một đường parabol (P) có phương trình: y = \(\frac{1}{2}{x}^{2}\) (trong đó x, y tính bằng mét). Gốc tọa độ O được chọn tại điểm thấp nhất của dây cáp so với mặt cầu. Hai trụ cầu thẳng đứng được dựng lên để giữ dây cáp. Một điểm A dùng để lắp đặt thanh giằng nằm trên đường thẳng (d) có phương trình: \(y=2x+2\). Biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm A xuống mặt cầu (trục Ox) cách gốc tọa độ O một đoạn 3 m về phía bên phải.

(a) Tìm tọa độ điểm A.

(b) Tìm các điểm thuộc parabol (P) có cùng độ cao với điểm A.

Cho phương trình \({x^2} - 4x - 1 = 0\) (*) có 2 nghiệm phân biệt \({x}_{1},{x}_{2}\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1}^3 + 17{x_2} + 2026\)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ điểm M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (H \(∈AB)\). Đường thẳng MB cắt (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N.

(a) Chứng minh rằng: Bốn điểm A, K, N, H cùng thuộc một đường tròn.

(b) Chứng minh rằng: \({AC}^{2}\) = 2 AH. OC và \(KAC=OMB.\)

(c) Chứng minh rằng: \(N\)là trung điểm của CH.

Đổ nước vào một chiếc thùng hình trụ có bán kính đáy là 20 cm. Nghiêng thùng cho mặt nước chạm vào miệng cốc và đáy cốc (như hình vẽ) thì mặt nước tạo với đáy cốc một góc 30⁰. Tính chiều cao của chiếc thùng hình trụ (làm tròn với độ chính xác 0,005).

Tàu Rồng du lịch trên sông Hàn, xuất bến tại bến du thuyền sông Hàn đưa khách du lịch xuôi dòng sông Hàn trên một quãng sông dài 12km ngắm cảnh thành phố Đà Nẵng đẹp lung linh về đêm, rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng trên quãng sông ấy tàu xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì hết 1giờ 20 phút. Biết rằng vận tốc riêng của tàu và vận tốc riêng của dòng nước là không đổi. Tính vận tốc riêng của tàu Rồng và vận tốc riêng của dòng nước.

Một chiếc đèn lồng được tạo thành khi quay tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh lần lượt là \(AB = 15cm\), \(AC = 20cm\), \(BC = 25cm\) quanh cạnh huyền \(BC\). Tính thể tích không khí trong đèn lồng đó.

Trong một công viên mới được xây dựng tại một khu đô thị, người ta dự định tạo ra một sân chơi dành cho trẻ em có hình dạng là một vành khuyên. Phía trong là một thảm cỏ xanh tươi, và phần vành khuyên bên ngoài được lát gạch để làm lối đi. Đường kính của toàn bộ sân chơi (bao gồm cả thảm cỏ và lối đi) là 12 mét. Chiều rộng của lối đi (phần vành khuyên) là 2 mét như hình vẽ. Hãy tính phần diện tích lối đi (biết \(\pi \approx 3,14\), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).