Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi \[50{\rm{\;m}}.\] Nếu chiều dài tăng thêm \[5{\rm{\;m}}\] và chiều rộng giảm đi \[6{\rm{\;m}}\] thì diện tích của mảnh vườn giảm đi \[50{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.\] Giả sử \[x,y\] lần lượt là chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn. Từ dữ kiện mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi \[50{\rm{\;m}},\] khi biểu diễn theo hai ẩn \[x,y,\] ta được phương trình nào trong các phương trình sau đây?

Chọn C

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}mx + 2my = m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + \left( {m + 1} \right)y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (2), ta có: \[x = 2 - \left( {m + 1} \right)y.\]

Thay \[x = 2 - \left( {m + 1} \right)y\] vào phương trình (1), ta được:

\[m\left[ {2 - \left( {m + 1} \right)y} \right] + 2my = m + 1\]

\[2m - \left( {{m^2} + m} \right)y + 2my = m + 1\]

\[\left( { - {m^2} + m} \right)y =  - m + 1\]

\[ - m\left( {m - 1} \right)y =  - \left( {m - 1} \right)\]

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \[m \ne 0\] và \[m \ne 1.\]

Khi đó ta có \[y = \frac{{ - \left( {m - 1} \right)}}{{ - m\left( {m - 1} \right)}} = \frac{1}{m}.\]

Suy ra \[x = 2 - \left( {m + 1} \right) \cdot \frac{1}{m} = \frac{{2m - m - 1}}{m} = \frac{{m - 1}}{m}.\]

Vì vậy \[A = x - y = \frac{{m - 1}}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{1}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{2}{m}.\]

Với \(m \in \mathbb{Z},\) để biểu thức \[A\] nhận giá trị nguyên thì \[\frac{2}{m}\] nhận giá trị nguyên.

Suy ra \[m \in \]Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}.\]

So với điều kiện \[m \ne 0\] và \[m \ne 1,\] ta nhận \[m \in \left\{ { - 2; - 1;2} \right\}.\]

Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta chọn phương án C

Chọn B

Quãng đường \[AB\] là \[xy\] (km).

⦁ Nếu ô tô tăng vận tốc thêm \[15\] km/h thì vận tốc của ô tô là \[x + 15\] (km/h).

Khi đó ô tô đến \[B\] sớm hơn dự định là \[2\] giờ nên thời gian ô tô đi từ \[A\] đến \[B\] là \[y - 2\] (giờ).

Vì vậy ta có phương trình \[\left( {x + 15} \right)\left( {y - 2} \right) = xy\] hay \[xy - 2x + 15y - 30 = xy.\]

Tức là, \[ - 2x + 15y = 30\] (1)

⦁ Nếu ô tô giảm vận tốc đi \[5\] km/h thì vận tốc của ô tô là \[x - 5\] (km/h).

Khi đó ô đến \[B\] muộn hơn dự định là \[1\] giờ nên thời gian ô tô đi là \[y + 1\] (giờ).

Vì vậy ta có phương trình \[\left( {x - 5} \right)\left( {y + 1} \right) = xy\] hay \[xy + x - 5y - 5 = xy.\]

Tức là, \[x - 5y = 5\] (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 15y = 30\\x - 5y = 5.\end{array} \right.\]