Chứng minh các đẳng thức sau:
a). \(\left( {\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right){\left( {\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}}} \right)^2} = 1\quad \) với a \( > 0\) và \(a \ne 1\).
b). \(\frac{{a + b}}{{{b^2}}}\sqrt {\frac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} = \left| a \right|\) với \(a + b > 0\) và \(b \ne 0\).
Chứng minh các đẳng thức sau:
a). \(\left( {\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right){\left( {\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}}} \right)^2} = 1\quad \) với a \( > 0\) và \(a \ne 1\).
b). \(\frac{{a + b}}{{{b^2}}}\sqrt {\frac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} = \left| a \right|\) với \(a + b > 0\) và \(b \ne 0\).
Câu hỏi trong đề: 3 bài tập Chứng minh đẳng thức (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
ta có: \(\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a = \frac{{1 - {{\left( {\sqrt a } \right)}^3}}}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a = 1 + \sqrt a + a + \sqrt a \)\( = 1 + 2\sqrt a + a = {\left( {1 + \sqrt a } \right)^2}\)
và \(\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}} = \frac{{1 - \sqrt a }}{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a } \right)}} = \frac{1}{{1 + \sqrt a }}\)
Do đó: \({\rm{VT}} = \left( {\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right){\left( {\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}}} \right)^2} = {\left( {1 + \sqrt a } \right)^2} \cdot \frac{1}{{{{\left( {1 + \sqrt a } \right)}^2}}} = 1 = {\rm{VP}}\) (đpcm).
b) Ta có: \({\rm{VT}} = \frac{{a + b}}{{{b^2}}}\sqrt {\frac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} = \frac{{a + b}}{{{b^2}}}\sqrt {\frac{{{a^2}{b^4}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} = \frac{{a + b}}{{{b^2}}}.\frac{{\left| a \right|.{b^2}}}{{a + b}} = \left| a \right| = {\rm{VP}}\) (đpcm).
(do \(a + b > 0\) và \(b \ne 0\)).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có: \(\frac{1}{{2 + 2\sqrt a }} + \frac{1}{{2 - 2\sqrt a }} = \frac{1}{{2(1 + \sqrt a )}} + \frac{1}{{2(1 - \sqrt a )}}\)
\( = \frac{{1 - \sqrt a + 1 + \sqrt a }}{{2(1 + \sqrt a )(1 - \sqrt a )}} = \frac{2}{{2(1 - a)}} = \frac{1}{{1 - a}}\)
Do đó biểu thức đã cho bằng:\(\left( {\frac{1}{{1 - a}} - \frac{{{a^2} + 1}}{{\left( {1 - a} \right)\left( {1 + a} \right)}}} \right) \cdot \frac{{a + 1}}{a} = \)\(\frac{{1 + a - {a^2} - 1}}{{1 - {a^2}}} \cdot \frac{{a + 1}}{a}\)
\( = \frac{{a\left( {1 - a} \right)}}{{1 - {a^2}}} \cdot \frac{{a + 1}}{a} = 1\).
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến \(a\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
ta có: \({\rm{VT}} = \frac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\frac{2}{3}} - 4\sqrt {\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\frac{6}{9}} - 4\sqrt {\frac{6}{4}} \)
\( = \frac{3}{2}\sqrt 6 + \frac{2}{3}\sqrt 6 - 2\sqrt 6 = \left( {\frac{3}{2} + \frac{2}{3} - 2} \right)\sqrt 6 = \frac{{\sqrt 6 }}{6} = {\rm{VP}}\) (đpcm).
b) b) Ta có \({\rm{VT}} = \left( {x\sqrt {\frac{6}{x}} + \sqrt {\frac{{2x}}{3}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} = \left( {\sqrt {6x} + \frac{{\sqrt {6x} }}{3} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} {\rm{ }}\)
\( = \frac{7}{3}\sqrt {6x} :\sqrt {6x} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} = {\rm{VP}}\) (đpcm).
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập