Cho biểu thức: \(B = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\frac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\) với \(a > b > 0.\)

a) Rút gọn B;

b) Tính B nếu \(\frac{a}{b} = \frac{3}{2}\);

c) Tìm điều kiện của \(a,b\) để \(B < 1\).

Câu hỏi trong đề: 19 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Với điều kiện: \(a > b > 0\), ta có:\(B = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\frac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \frac{{\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}} + a} \right)}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}.\frac{{\left( {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} } \right)}}{b}\\ = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \frac{b}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} = \frac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }} = \sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \end{array}\)

b) Ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}b\) thay vào ta được \(B = \sqrt {\frac{{\frac{3}{2}b - b}}{{\frac{3}{2}b + b}}} = \sqrt {\frac{{\frac{1}{2}b}}{{\frac{5}{2}b}}} = \sqrt {\frac{1}{5}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)

c) Khi \(B < 1\) ta có: \(\sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} < 1 \Leftrightarrow \) \(\frac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }} < 1 \Leftrightarrow \sqrt {a - b} < \sqrt {a + b} \)

\( \Leftrightarrow a - b < a + b \Leftrightarrow - b < b \Leftrightarrow 2b > 0 \Leftrightarrow b > 0.\)

Vậy với \(a > b > 0\) thì \(B < 1.\)

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xét biểu thức: \[B = \left( {\frac{3}{{\sqrt {a + 1} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)\]

a). Rút gọn \(B\);

b). Tìm giá trị của \(B\) nếu \[a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }};\]

c). Với giá trị nào của a thì \[{\rm{ }}\sqrt B > B\].

Xem đáp án

Lời giải

a). Điều kiện \[ - 1 < a < 1\]

\[\begin{array}{l}B = \left( {\frac{3}{{\sqrt {a + 1} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\frac{{3 + \sqrt {1 - a} .\sqrt {a + 1} }}{{\sqrt {a + 1} }}} \right):\left( {\frac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 - {a^2}} }}} \right) = \frac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {a + 1} }}.\frac{{\sqrt {a + 1} .\sqrt {1 - a} }}{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }} = \sqrt {1 - a} \end{array}\]

b). Với \[a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }};\]Khi đó:

\[B = \sqrt {1 - a} = \sqrt {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} = \sqrt {\frac{{2.\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}}}{{4 - 3}}} = \sqrt 3 + 1\]

c). Với \[ - 1 < a < 1\], ta có:\[{\rm{ }}\sqrt B > B\] hay \[\sqrt B \left( {1 - {\rm{ }}\sqrt B } \right) > 0\]

TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}\sqrt B > 0\\1 - {\rm{ }}\sqrt B > 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}B > 0\\{\rm{ }}\sqrt B < 1\end{array} \right.\], suy ra \[0 < B < 1\].

TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}\sqrt B < 0\\1 - {\rm{ }}\sqrt B < 0\end{array} \right.\] (vô nghiệm).

Khi đó \[0 < \sqrt {1 - a} < 1\] hay \[0 < 1 - a < 1\] nên \[0 < a < 1.\]

Kết hớp với điều kiện \[ - 1 < a < 1\] ta được \[0 < a < 1\]

Vậy \[0 < a < 1\] thì\[{\rm{ }}\sqrt B > B\].

Câu 2

Rút gọn biểu thức:

a) \(A = \frac{1}{{7 + 4\sqrt 3 }} + \frac{1}{{7 - 4\sqrt 3 }}\); b) \(B = \frac{{15}}{{\sqrt 6 + 1}} + \frac{4}{{\sqrt 6 - 2}} - \frac{{12}}{{3 - \sqrt 6 }} - \sqrt 6 \).

Xem đáp án

Lời giải

a) \(A = \frac{1}{{7 + 4\sqrt 3 }} + \frac{1}{{7 - 4\sqrt 3 }} = \frac{{7 - 4\sqrt 3 + 7 + 4\sqrt 3 }}{{49 - 48}} = 14\)

b) \[B = \frac{{15}}{{\sqrt 6 + 1}} + \frac{4}{{\sqrt 6 - 2}} - \frac{{12}}{{3 - \sqrt 6 }} - \sqrt 6 = \frac{{15\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}}{{6 - 1}} + \frac{{4\left( {\sqrt 6 + 2} \right)}}{{6 - 4}} - \frac{{12\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{{9 - 6}} - \sqrt 6 \].

\[ = 3\left( {\sqrt 6 - 1} \right) + 2\left( {\sqrt 6 + 2} \right) - 4\left( {3 + \sqrt 6 } \right) - \sqrt 6 = - 11\]

Câu 3