Bảng thống kê sau cho biết số lượng học sinh của các lớp khối 8 tham gia câu lạc bộ Bóng rổ của một trường THCS.

Lớp	8A	8B	8C	8D
Số học sinh tham gia	8	12	10	5

1) Dùng biểu đồ cột để so sánh số lượng học sinh tham gia câu lạc bộ này ở từng lớp.

2) Trí Nguyên là học sinh của lớp 8A và hiện chưa tham gia câu lạc bộ nào của trường. Bạn Nguyên nhận xét rằng: “Nếu mình đăng kí tham gia câu lạc bộ Bóng rổ của truờng thì số học sinh lớp 8A trong câu lạc bộ Bóng rổ lúc này sẽ chiếm \(25\% \) tổng số học sinh của cả câu lạc bộ”. Em hãy cho biết nhận xét của bạn Nguyên có chính xác không?

1) Xét \(\Delta ABC\) có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC.\)

Lại có \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó \(AM = MB = MC = \frac{1}{2}BC.\)

Xét tứ giác \(ANBM\) có \(H\) là trung điểm của \(AB\) và \(MN\) (do \(HN = HM)\) nên \(ANBM\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(ANBM\) có \(AM = MB\) nên là hình thoi.

2) ⦁ Vì \(ANBM\) là hình thoi nên \(BN = BM\) và \(BA\) là phân giác của \(\widehat {MBN}\) (tính chất hình thoi).

Xét \(\Delta BND\) và \(\Delta BMD\) có:

\(BN = BM;\)

\(\widehat {NBD} = \widehat {MBD}\) (do \(BA\) là phân giác của \(\widehat {MBN});\)

\(BD\) là cạnh chung.

Do đó \(\Delta BND = \Delta BMD\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BND} = \widehat {BMD}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {BMD} = \widehat {BND} = 90^\circ ,\) nên \(DM \bot BC\) tại \(M.\)

⦁ Ta có \(DM \bot BC\) tại \(M\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(DM\) là đường trung trực của \(BC.\)

Do đó \(DB = DC\) nên \(\Delta DBC\) cân tại \(D.\)

3) ⦁ Xét \(\Delta MJE\) có \(IP\,{\rm{//}}\,EJ\) nên \(\frac{{IP}}{{EJ}} = \frac{{MI}}{{ME}}\) (hệ quả định lí Thalès).

Xét \(\Delta MNE\) có \(HI\,{\rm{//}}\,NE\) nên \(\frac{{HI}}{{NE}} = \frac{{MI}}{{ME}}\) (hệ quả định lí Thalès).

Do đó \(\frac{{IP}}{{EJ}} = \frac{{HI}}{{NE}}\left( { = \frac{{MI}}{{ME}}} \right)\)

Mặt khác, \(I\) là trung điểm của \(HP\) nên \(IP = IH,\) do đó \(EJ = NE\) hay \(E\) là trung điểm \(NJ.\)

⦁ Vì \(ANBM\) là hình thoi nên \(AB \bot MN\)

Lại có \(AC \bot AB\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,AC\).

Xét \(\Delta DHM\) có \(AK\,{\rm{//}}\,HM\) nên \(\frac{{DK}}{{KM}} = \frac{{DA}}{{AH}}\) (định lí Thalès). (1)

Xét \(\Delta MNJ\) có \(E,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(NJ\) và \(MN\) nên \(EH\) là đường trung bình của tam giác, do đó \[EH\,{\rm{//}}\,MJ\].

Xét \(\Delta DEH\) có \(JA\,{\rm{//}}\,EH\) nên \(\frac{{DJ}}{{JE}} = \frac{{DA}}{{AH}}\) (định lí Thalès). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{DK}}{{KM}} = \frac{{DJ}}{{JE}}\left( { = \frac{{DA}}{{AH}}} \right).\) Do đó \(JK\,{\rm{//}}\,EM\) (định lí Thalès đảo).

Vậy \(MI\,{\rm{//}}\,JK.\)