Cho hai biểu thức \(A = \frac{5}{{\sqrt x  + 3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{9\sqrt x  + 9}}{{x - 9}}\) với \(x \ge 0,x \ne 9\).

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\).

b) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\).

c) Tìm tất cả giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = A \cdot B\) nhận giá trị nguyên dương.

a) Thể tích của lượng nước ban đầu có trong chiếc cốc là: \(V = \pi {R^2}h \approx {3,14.3^2}.5 = 141,3(c{m^3})\)

b) Thể tích của 6 viên bi hình cầu là: \(V = 6.\frac{4}{3}.\pi .{r^3} \approx 6.\frac{4}{3}{.3,14.1^3} = 25,12(c{m^3})\)

Vì thể tích của 6 viên bi hình cầu bằng thể tích của nước trong cốc dâng lên => thể tích của nước trong cốc dâng lên là \(25,12(c{m^3})\).

Thể tích của lượng nước trong cốc sau khi thả \(6\)viên bi vào là: \(141,3 + 25,12 = 166,42(c{m^3})\)

Chiều cao của lượng nước trong cốc sau khi thả \(6\)viên bi vào là:

\(\begin{array}{l}\pi .{R^2}.h = 166,42\\{3,14.3^2}.h = 166,42\\h = \frac{{53}}{9} \approx 5,89(cm)\end{array}\)

Vậy chiều cao của mực nước trong cốc sau khi thả 6 viên bi khoảng \(5,89cm\)

Ta có gọi số xe ga và xe số cửa hàng nhập về lần lượt là \(x;y\) (xe) \(\left( {x,y \in \mathbb{N}*} \right).\)

Vì tổng nhu cầu thị trường trong Quý I không vượt quá \(70\) chiếc cho cả hai loại xe nên ta có

\(x + y \le 70\)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá \(1\) tỷ đồng (\( = 1000\) triệu đồng) nên ta có \(25x + 10y \le 1000\)

hay \(5x + 2y \le 200\)

Lợi nhuận cửa hàng thu được là \(L = 4x + 2y\) (triệu đồng)

Suy ra \(3L = 12x + 6y = 2\left( {5x + 2y} \right) + 2\left( {x + y} \right) \le 2.200 + 2.70 = 540\). Do đó \(L \le 180\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 70\\5x + 2y = 200\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 50\end{array} \right.\).

Vậy để lợi nhuận thu được lớn nhất thì cửa hàng cần nhập \(20\) xe ga và \(50\) xe số.