Cho hai biểu thức \(A = \frac{5}{{\sqrt x  + 3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{9\sqrt x  + 9}}{{x - 9}}\) với \(x \ge 0,x \ne 9\).

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\).

b) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\).

c) Tìm tất cả giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = A \cdot B\) nhận giá trị nguyên dương.

a) Thay \(x = 16\)(thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức ta có

\(A = \frac{5}{{\sqrt {16}  + 3}} = \frac{5}{{4 + 3}} = \frac{5}{7}\)

Vậy \(A = 1\) khi \(x = 16\).

b) \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{9\sqrt x  + 9}}{{x - 9}}\)\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{9\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + 9\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)\( = \frac{{x - 3\sqrt x  + 9\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 6\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\).

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\).

c) \(P = A \cdot B = \frac{5}{{\sqrt x  + 3}}.\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{5}{{\sqrt x  - 3}}\).

Để \(P\) nhận giá trị nguyên dương thì \(\sqrt x  - 3\) là ước nguyên dương của \(5\).

TH1: \(\sqrt x  - 3 = 1\), suy ra \(x = 16\) (thỏa mãn).

TH2: \(\sqrt x  - 3 = 5\), suy ra \(x = 64\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 16\) hoặc \(x = 64\) thì \(P\) nhận giá trị nguyên dương.