(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{5\sqrt x  - 2}}{{x - 4}}\) với \(x > 0,x \ne 4\).

           1) Tính giá trị A tại \(x = 16\).

           2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\).

           3) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(\sqrt P  < \frac{2}{3}\) với \(P = A.B\).

1) Thay \(x = 16\) (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }}\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt {16}  - 3}}{{\sqrt {16} }} = \frac{{4 - 3}}{4} = \frac{1}{4}\)

Vậy khi \(x = 16\) thì \(A = \frac{1}{4}\).

2) Ta có: \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{5\sqrt x  - 2}}{{x - 4}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right) + 1\left( {\sqrt x  - 2} \right) - \left( {5\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x + 2\sqrt x  + \sqrt x  - 2 - 5\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}{\rm{ }}\)(ĐPCM)

3)  \(P = A.B = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}}\)

Để tồn tại \(\sqrt P \) thì \(P \ge 0\) thì \(\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} \ge 0\)

Vì \(\sqrt x  + 2 > 0\) với mọi \(x > 0\), nên ta cần \(\sqrt x  - 3 \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 3 \Rightarrow x \ge 9\).

Ta có \(\sqrt P  < \frac{2}{3}\) thì \(\sqrt {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}}}  < \frac{2}{3}\) suy ra \(\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} < \frac{4}{9}\)

Vì \(\sqrt x  + 2 > 0\) với mọi \(x \ge 9\) suy ra \(9\left( {\sqrt x  - 3} \right) < 4\left( {\sqrt x  + 2} \right)\)

\(9\sqrt x  - 27 < 4\sqrt x  + 8\)

\(5\sqrt x  < 35 \Rightarrow \sqrt x  < 7 \Rightarrow x < 49\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 9\) và ĐKXĐ ban đầu, ta có: \(9 \le x < 49\).

Vì \(x\) nguyên, nên \(x \in \left\{ {9\,;\,\,10\,;\,\,11\,;\,\, \ldots \,;\,\,48} \right\}\)