(0,5 điểm)

Bác An có một tấm gỗ hình tam giác đều \(ABC\) cạnh \[100cm\]. Bác muốn cắt ở 3 góc đi 3 mảnh để tạo ra một tấm gỗ hình chữ nhật \[MNPQ\]. Tính diện tích lớn nhất của tấm gỗ hình chữ nhật \[MNPQ\] có thể tạo được.

Gọi chiều dài hình chữ nhật là \(MQ = x\,\left( {cm} \right)\) (với \(0 < x < 100\))

Ta có \[KC = \frac{1}{2}.BC = 50cm\]

Xét tam giác \[AKC\] vuông tại \[K\] có: \[AK = \sqrt {A{C^2} - K{C^2}}  = \sqrt {{{100}^2} - {{50}^2}}  = 50\sqrt 3 \left( {cm} \right)\]

Khi đó \[QC = KC - KQ = 50 - \frac{x}{2}\]

Xét \[AKC\] có \[PQ\,{\rm{//}}\,AK\] suy ra \[\frac{{PQ}}{{AK}} = \frac{{QC}}{{KC}}\]

Suy ra \[PQ = \frac{{\left( {50 - \frac{x}{2}} \right).50\sqrt 3 }}{{50}} = 50\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\]

Diện tích hình chữ nhật \[MNPQ\] là

\[S = x.\left( {50\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2} + 50\sqrt 3 x\]

\( =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{x^2} - 100x} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{x^2} - 100x + 2500 - 2500} \right)\)

\( =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {{{\left( {x - 50} \right)}^2} - 2500} \right] =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {x - 50} \right)^2} + 1250\sqrt 3 .\)

Vì \({\left( {x - 50} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {x - 50} \right)^2} \le 0\).

\( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {x - 50} \right)^2} + 1250\sqrt 3  \le 1250\sqrt 3 \) suy ra \(S \le 1250\sqrt 3 \).

Dấu "=" xảy ra khi \(x = 50\).

Diện tích lớn nhất của tấm gỗ hình chữ nhật \[MNPQ\] có thể tạo được là: \(1250\sqrt 3 \,\left( {c{m^2}} \right)\)