(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{x - 1}} - \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = \frac{4}{9}\).

2) Rút gọn \(B\).

3) Cho \(M = \frac{{2A}}{B}\). Chứng minh rằng \(M\) có giá trị không phải là số nguyên.

Gọi \[x\] (đồng) giá niêm yết của mỗi chiếc Pizza là \[\left( {x > 30\,\,000} \right)\]

Số tiền phải trả cho 5 chiếc Pizza đầu là \[5x\] đồng

Số tiền phải trả cho 5 chiếc Pizza từ chiếc thứ 6 đến thứ 10 là \[5\left( {x - 30\,\,000} \right)\]đồng

Số tiền phải trả cho 6 chiếc Pizza từ chiếc thứ 11 đến thứ 16 là \[6 \cdot 0,8\left( {x - 30\,\,000} \right)\]đồng

Do bác Lan phải trả 3110 000 đồng cho cửa hàng nên ta có
\[5x + 5\left( {x - 30\,\,000} \right) + 4,8\left( {x - 30\,\,000} \right) = 3\,\,\,110\,\,000\]

\[(5 + 5 + 4,8)x - 294\,\,000 = 3\,\,110\,\,000\]

\[14,8x = 3\,\,110\,\,000 + 294\,\,\,000\]

\[x = 230\,\,000\] (TMĐK).

Vậy giá niêm yết của mỗi chiếc Pizza trong cửa hàng là \[230\,\,000\] đồng.

Gọi vận tốc robot ở khu A và khu B lần lượt là \(x,y\) (m/s), \(0 < x,y < 6\).

Vì tổng vận tốc thiết lập không vượt quá 6m/s nên \(x + y \le 6\).

Hao phí động cơ là: \(x + y\) (đơn vị năng lượng)

Hao phí điều khiển là: \(\frac{6}{x} + \frac{{24}}{y}\) (đơn vị năng lượng)

Tổng mức tiêu hao năng lượng là: \(A = x + y + \frac{6}{x} + \frac{{24}}{y}\).

Ta có: \(A = \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{6}{x}} \right) + \left( {\frac{{3y}}{2} + \frac{{24}}{y}} \right) - \frac{1}{2}\left( {x + y} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} + \frac{6}{x} \ge 2\sqrt {\frac{{3x}}{2}.\frac{6}{x}}  = 6\\\frac{{3y}}{2} + \frac{{24}}{y} \ge 2\sqrt {\frac{{3y}}{2}.\frac{{24}}{y}}  = 12\end{array} \right.\], mặt khác \(x + y \le 6\) nên \(\frac{1}{2}\left( {x + y} \right) \le 3\)

Suy ra \(A \ge 15\).

Dấu bằng xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} = \frac{6}{x}\\\frac{{3y}}{2} = \frac{{24}}{y}\\x + y = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.\] (vì \(0 < x,y < 6\))

Vậy vận tốc robot ở khu A và khu B lần lượt là \(2\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) và \(6\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) thì mức tiêu hao năng lượng nhỏ nhất.