(2,5 điểm)

Cho một khối đá hình nón có chiều cao \[40\]cm và đường kính đáy \[30\]cm (lấy \[\pi  \approx 3,14\]).

a) Tính thể tích của khối đá.

b) Một chiếc chum hình trụ có chiều cao trong lòng chum là \[70\] cm và bán kính đáy \[20\] cm đang đựng nước với chiều cao mực nước là \[45\] cm. Đặt khối đá hình nón vào trong chum thì khối đá chìm hoàn toàn trong nước và nước trong chum dâng lên không bị tràn ra ngoài. Hỏi sau khi đặt khối đá vào trong chum thì mực nước cách miệng chum là bao nhiêu centimet?

a) Do \[MA,MB\] là tiếp tuyến của  \[\left( O \right)\] nên \[\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \].

Do \[OI \bot CD\] tại  \[I\] nên \[\widehat {MIO} = 90^\circ \].

Xét \[\Delta MAO\] vuông tại \[A\] nên \[M,A,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Xét \[\Delta MBO\] vuông tại \[B\] nên \[M,B,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Xét \[\Delta MIO\] vuông tại \[I\]nên \[M,I,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Suy ra \[5\] điểm \[M,A,I,B,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

b) Xét đường tròn đường kính \[MO\] có:

\[\widehat {AIM} = \widehat {AOM}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

\[\widehat {MIB} = \widehat {BOM}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Mà \[\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau trong đường tròn \[\left( O \right)\])

Suy ra \[\widehat {AIM} = \widehat {MIB}\] nên \[IM\] là tia phân giác của \[\widehat {AIB}\].

c) Ta có \[MA = MB\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau trong đường tròn \[\left( O \right)\])

và \[OA = OB\] (bán kính đường tròn \[\left( O \right)\])

Suy ra \[OM\] là trung trực của \[AB\] nên \[OM \bot AB\] tại \[H\].

Xét \[\Delta MHA\] và \[\Delta MAO\] có: \[\widehat {AMO}\] chung,  \[\widehat {MAO} = \widehat {MHA}\left( { = 90^\circ } \right)\] nên  (g.g)

suy ra \[\frac{{MA}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MA}}\] (cặp cạnh tương ứng), hay \[M{A^2} = MH.MO\]. (1)

Kẻ đường kính \[AE\] của \[\left( O \right)\].

Suy ra \[\widehat {ADE} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có \[\widehat {MAC} + \widehat {CAE} = 90^\circ \] (\[\widehat {MAO} = 90^\circ \]); \[\widehat {ADC} + \widehat {CDE} = 90^\circ \] (\[\widehat {MAO} = 90^\circ \])

Mà \[\widehat {CAE} = \widehat {CDE}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung  trong đường tròn \[\left( O \right)\])

Nên \[\widehat {MAC} = \widehat {ADC}\]

Xét \[\Delta MAC\]và \[\Delta MDA\] có:  \[\widehat {AMD}\] chung,  \[\widehat {MAC} = \widehat {ADC}\] nên  (g.g)

Suy ra \[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\] (cặp cạnh tương ứng), hay \[M{A^2} = MC.MD\]. (2)

Từ (1), (2) suy ra \[MH.MO = MC.MD\].