(3,0 điểm) Cho tam giác nhọn \[ABC\] \[\left( {AB < AC} \right)\;\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\], gọi \[M\] là trung điểm của \[BC\]. Các đường cao \[AD,BE,CF\;\]của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại \[H\].

a) Chứng minh tứ giác \[BCEF\] nội tiếp.

b) Các tiếp tuyến với \[\left( O \right)\]tại \[B,\,C\] cắt nhau tại \[G\]. Gọi \[P,\,Q\] lần lượt là giao điểm của \[EF\] với các đường thẳng \[BG\] và \[AO\]. Chứng minh \(\frac{{EF}}{{QF}} = \frac{{BC}}{{DC}}\) và \[PM \bot AB\].

c) Qua \[A\] kẻ đường thẳng song song với \[BC\] cắt \[\left( O \right)\] tại điểm thứ hai là \[S\]. Gọi \[N\] là giao điểm thứ hai  của \[SG\] với \[\left( O \right)\]. Chứng minh ba điểm \(A,M,N\) thẳng hàng.

Gọi số hàng ghế theo dự định là \[x\] (hàng), số ghế mỗi hàng theo dự định là \[y\] (ghế) \[\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right).\]

Số chỗ ban đầu theo dự định là \[xy\] (chỗ)

Nếu tăng thêm 1 hàng thì số hàng là \[x + 1\] (hàng)

Mỗi hàng bớt đi 1 ghế thì số ghế mỗi hàng là \[y - 1\] (ghế)

Khi đó số chỗ ngồi tăng thêm 10 chỗ nên ta có phương trình \[\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy + 10\]

Nếu bớt đi 1 hàng thì số hàng là \[x - 1\] (hàng)

Tăng thêm mỗi hàng 2 ghế thì số ghế mỗi hàng là \[y + 2\] (ghế)

Khi đó số chỗ ngồi tăng thêm 9 chỗ nên ta có phương trình \[\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 9\].

Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy + 10\\\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 9\end{array} \right.\].

Giải hệ phương trình ta được \[x = 19,y = 29\] (TMĐK)

Vậy số chỗ ban đầu theo dự định là \[xy = 19.29 = 551\] (chỗ).

a) Thể tích khối cầu: \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\) nên thể tích phần kem tan chảy: \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {r^3}.75\%  = \pi {r^3}\).

Thể tích khối nón: \({V_2} = \frac{1}{3}h.\pi {r^2}\).

Theo bài ra: \({V_1} = {V_2}\) nên \(\pi {r^3} = \frac{1}{3}h.\pi {r^2}\). Suy ra: \(\frac{h}{r} = 3\).

b) Đặt \(AD = x\left( {cm} \right)\).

Vì chu vi hình chữ nhật \(ABCD\) bằng \(40cm\) và \(AD \ge AB\) nên \(AB = 20 - x\) và \(10 \le x < 20\).                                                                                                       (1)

Đặt \(AN = a\left( {cm} \right)\), Vì \(CD \ge CM\) nên \(20 - x \ge x - a\) suy ra: \(a \ge 2x - 20\)         (2)                             

Khi đó:

Chiều cao hình trụ: \(h = 20 - x\)

Chu vi đáy cốc bằng \(a\) nên bán kính đáy cốc \(R = \frac{a}{{2\pi }}\)

Vì bán kính đáy cốc \(R \le \frac{{CM}}{2}\) suy ra: \(\frac{a}{{2\pi }} \le \frac{{x - a}}{2}\) hay \(a \le \frac{{\pi x}}{{\pi  + 1}}\)

Từ đó ta có thể tích cốc nước \(V = h.\pi {R^2} = \left( {20 - x} \right)\pi \frac{{{a^2}}}{{4{\pi ^2}}} \le \frac{\pi }{{4{{\left( {\pi  + 1} \right)}^2}}}\left( {20 - x} \right){x^2}\)

Đặt \[A\left( x \right) = \left( {20 - x} \right){x^2} =  - {x^3} + 20{x^2} - \frac{{32\,\,000}}{{27}} + \frac{{32\,\,000}}{{27}}\]

                    \( =  - {\left( {x - \frac{{40}}{3}} \right)^2}\left( {x + \frac{{20}}{3}} \right) + \frac{{32\,\,000}}{{27}} \le \frac{{32\,\,000}}{{27}}\)

Từ đó suy ra: \(V \le \frac{{8000\pi }}{{27{{\left( {\pi  + 1} \right)}^2}}}\).

Dấu bằng xảy ra khi : \(x = \frac{{40}}{3}\) và \(a = \frac{{40\pi }}{{3\left( {\pi  + 1} \right)}}\) (thoả mãn các điều kiện (1),(2))

Vậy \(V\) lớn nhất là bằng \(\frac{{8000\pi }}{{27{{\left( {\pi  + 1} \right)}^2}}}\left( {c{m^2}} \right)\).