(1,5 điểm)

Một cuộc điều tra về thời gian sử dụng mạng Internet trong ngày của học sinh lớp 9 tại một trường trung học cơ sở cho kết quả như sau:

Thời gian (giờ)	\[\left[ {0;\,\,0,5} \right)\]	\[\left[ {0,5;\,\,1} \right)\]	\[\left[ {1;\,\,1,5} \right)\]	\[\left[ {1,5;\,\,2} \right)\]	\[\left[ {2;\,\,2,5} \right)\]
Tỉ lệ	\[20\% \]	\[25\% \]	\[15\% \]	\[22\% \]	\[18\% \]

Nhóm nào có tần số tương đối lớn nhất? Biết rằng để thu được bảng thống kê trên, người ta lập phiếu điều tra và thu về 200 phiếu trả lời. Tính số học sinh của nhóm có tần số tương đối lớn nhất.

a) Ta có: \(\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) nên nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\)

Xét \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) nên nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\)

Do đó bốn điểm \(B,C,E,F\)cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\) nên tứ giác \[BCEF\] nội tiếp.

b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta AEF\) có:

\(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\) (cùng bù \(\widehat {BFE}\)); \(\widehat {BAC}\) chung

Nên $\Delta ABC\backsim \Delta AEF$ (g-g) \( \Rightarrow \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) (1)

Kẻ đường kính AK suy ra \(\widehat {ACK} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \widehat {BCK} = \widehat {DAC}\) (cùng phụ \(\widehat {ACD}\))

Lại có: \(\widehat {BCK} = \widehat {FAQ}\) suy ra \(\widehat {FAQ} = \widehat {DAC}\)

Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta AQF\) có:

\(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\) (cùng bù \(\widehat {BFE}\)); \(\widehat {FAQ} = \widehat {DAC}\) (cmt)

Do đó $\Delta ADC\backsim \Delta AQF$ (g-g) \( \Rightarrow \frac{{QF}}{{DC}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{QF}}{{DC}}\) hay \(\frac{{EF}}{{QF}} = \frac{{BC}}{{DC}}\) (đpcm).

*) Xét \(\Delta BFC\) vuông tại F có \(FM\) là đường trung tuyến nên \(FM = MB\) (3)

Vì $\Delta ADC\backsim \Delta AQF$ (cmt) \( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {AQF} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {QAF} + \widehat {AFQ} = 90^\circ \)

Ta lại có: \(\widehat {PBF} + \widehat {FBO} = 90^\circ \), mà \(\widehat {QAF} = \widehat {FBO}\) nên \(\widehat {PBF} = \widehat {AFQ}\)

Mặt khác \(\widehat {PFB} = \widehat {AFQ}\). Do đó \(\widehat {PFB} = \widehat {PBF}\)

Suy ra  \(\Delta PBF\) cân tại P \( \Rightarrow PB = PF\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(PM\) là đường trung trực của \(BF\) \( \Rightarrow PM \bot AB\) (đpcm).

c)

Gọi số hàng ghế theo dự định là \[x\] (hàng), số ghế mỗi hàng theo dự định là \[y\] (ghế) \[\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right).\]

Số chỗ ban đầu theo dự định là \[xy\] (chỗ)

Nếu tăng thêm 1 hàng thì số hàng là \[x + 1\] (hàng)

Mỗi hàng bớt đi 1 ghế thì số ghế mỗi hàng là \[y - 1\] (ghế)

Khi đó số chỗ ngồi tăng thêm 10 chỗ nên ta có phương trình \[\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy + 10\]

Nếu bớt đi 1 hàng thì số hàng là \[x - 1\] (hàng)

Tăng thêm mỗi hàng 2 ghế thì số ghế mỗi hàng là \[y + 2\] (ghế)

Khi đó số chỗ ngồi tăng thêm 9 chỗ nên ta có phương trình \[\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 9\].

Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy + 10\\\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 9\end{array} \right.\].

Giải hệ phương trình ta được \[x = 19,y = 29\] (TMĐK)

Vậy số chỗ ban đầu theo dự định là \[xy = 19.29 = 551\] (chỗ).