Câu hỏi:

09/05/2026 26

(1,0 điểm)

a) Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón (hình vẽ bên). Giả sử bán kính hình cầu bằng bán kính đáy hình nón và khi kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng $75\,\% $ thể tích kem đóng băng ban đầu. Gọi $h$ và $r$ lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số $\frac{h}{r}.$

$Vậy $V$ lớn nhất là bằng $\frac{{8000\pi } (ảnh 1)$

b) Vào vòng thi chung kết của Hội thi “STEM Creators” có 2 bạn An và Bình. Thử thách của vòng thi là “thiết kế cốc uống nước” có dạng hình trụ không có nắp với cách thức như sau:

Hai bạn có thể chọn một mảnh giấy hình chữ nhật có kích thước khác nhau nhưng phải có chu vi cùng bằng \(40cm$ (giả sử là hình chữ nhật $ABCD$ với $AB \le AD$), cắt mảnh giấy theo đoạn thẳng $MN$để chia thành hai phần là hai hình chữ nhật $ABMN$và $CDNM$ (hình chữ nhật $CDNM$ có $CD \ge CM$). Phần thứ nhất cuộn lại dán hai mép giấy $AB$ và $NM$ để được mặt xung quanh của hình trụ làm thành cốc, phần thứ hai cắt lấy một hình tròn để làm đáy cốc (hình vẽ dưới).

$Vậy $V$ lớn nhất là bằng \(\frac{{8000\pi } (ảnh 2)$

Sau khi hai bạn hoàn thiện sản phẩm, An dùng cốc của mình múc đầy nước rồi đổ sang cốc của Bình. Nếu cốc của Bình đầy mà cốc của An vẫn còn nước thì An thắng. Ngược lại, nếu cốc của An hết nước mà cốc của Bình chưa đầy thì Bình thắng. Để An chắc chắn không thua thì An phải thiết kế để thể tích cốc nước lớn nhất. Tính thể tích lớn nhất của cốc nước.

Câu hỏi trong đề: Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Quỳnh Phương (Hà Nội) Tháng 4/2026 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Thể tích khối cầu: $V = \frac{4}{3}\pi {r^3}$ nên thể tích phần kem tan chảy: ${V_1} = \frac{4}{3}\pi {r^3}.75\% = \pi {r^3}$.

Thể tích khối nón: ${V_2} = \frac{1}{3}h.\pi {r^2}$.

Theo bài ra: ${V_1} = {V_2}$ nên $\pi {r^3} = \frac{1}{3}h.\pi {r^2}$. Suy ra: $\frac{h}{r} = 3$.

b) Đặt $AD = x\left( {cm} \right)$.

Vì chu vi hình chữ nhật $ABCD$ bằng $40cm$ và $AD \ge AB$ nên $AB = 20 - x$ và $10 \le x < 20$. (1)

Đặt $AN = a\left( {cm} \right)$, Vì $CD \ge CM$ nên $20 - x \ge x - a$ suy ra: $a \ge 2x - 20$ (2)

Khi đó:

Chiều cao hình trụ: $h = 20 - x$

Chu vi đáy cốc bằng $a$ nên bán kính đáy cốc $R = \frac{a}{{2\pi }}$

Vì bán kính đáy cốc $R \le \frac{{CM}}{2}$ suy ra: $\frac{a}{{2\pi }} \le \frac{{x - a}}{2}$ hay $a \le \frac{{\pi x}}{{\pi + 1}}$

Từ đó ta có thể tích cốc nước $V = h.\pi {R^2} = \left( {20 - x} \right)\pi \frac{{{a^2}}}{{4{\pi ^2}}} \le \frac{\pi }{{4{{\left( {\pi + 1} \right)}^2}}}\left( {20 - x} \right){x^2}$

Đặt \[A\left( x \right) = \left( {20 - x} \right){x^2} = - {x^3} + 20{x^2} - \frac{{32\,\,000}}{{27}} + \frac{{32\,\,000}}{{27}}\]

$ = - {\left( {x - \frac{{40}}{3}} \right)^2}\left( {x + \frac{{20}}{3}} \right) + \frac{{32\,\,000}}{{27}} \le \frac{{32\,\,000}}{{27}}$

Từ đó suy ra: $V \le \frac{{8000\pi }}{{27{{\left( {\pi + 1} \right)}^2}}}$.

Dấu bằng xảy ra khi : $x = \frac{{40}}{3}$ và $a = \frac{{40\pi }}{{3\left( {\pi + 1} \right)}}$ (thoả mãn các điều kiện (1),(2))

Vậy $V$ lớn nhất là bằng $\frac{{8000\pi }}{{27{{\left( {\pi + 1} \right)}^2}}}\left( {c{m^2}} \right)$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

(3,0 điểm) Cho tam giác nhọn \[ABC\] \[\left( {AB < AC} \right)\;\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\], gọi \[M\] là trung điểm của \[BC\]. Các đường cao \[AD,BE,CF\;\]của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại \[H\].

a) Chứng minh tứ giác \[BCEF\] nội tiếp.

b) Các tiếp tuyến với \[\left( O \right)\]tại \[B,\,C\] cắt nhau tại \[G\]. Gọi \[P,\,Q\] lần lượt là giao điểm của \[EF\] với các đường thẳng \[BG\] và \[AO\]. Chứng minh $\frac{{EF}}{{QF}} = \frac{{BC}}{{DC}}$ và \[PM \bot AB\].

c) Qua \[A\] kẻ đường thẳng song song với \[BC\] cắt \[\left( O \right)\] tại điểm thứ hai là \[S\]. Gọi \[N\] là giao điểm thứ hai của \[SG\] với \[\left( O \right)\]. Chứng minh ba điểm $A,M,N$ thẳng hàng.

Lời giải

$Do đó \[T\] trùng \[M\]. Vậy ba điểm $A,M,N$ thẳng hàng (đpcm). (ảnh 1)$

a) Ta có: $\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = 90^\circ $

Xét $\Delta BEC$ vuông tại $E$ nên nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

Xét $\Delta BFC$ vuông tại $F$ nên nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

Do đó bốn điểm $B,C,E,F$cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ nên tứ giác \[BCEF\] nội tiếp.

b) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta AEF$ có:

$\widehat {AFE} = \widehat {ACB}$ (cùng bù $\widehat {BFE}$); $\widehat {BAC}$ chung

Nên $Δ A B C ∽ Δ A E F$ (g-g) $ \Rightarrow \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{AC}}$ (1)

Kẻ đường kính AK suy ra $\widehat {ACK} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$ \Rightarrow \widehat {BCK} = \widehat {DAC}$ (cùng phụ $\widehat {ACD}$)

Lại có: $\widehat {BCK} = \widehat {FAQ}$ suy ra $\widehat {FAQ} = \widehat {DAC}$

Xét $\Delta ADC$ và $\Delta AQF$ có:

$\widehat {AFE} = \widehat {ACB}$ (cùng bù $\widehat {BFE}$); $\widehat {FAQ} = \widehat {DAC}$ (cmt)

Do đó $Δ A D C ∽ Δ A Q F$ (g-g) $ \Rightarrow \frac{{QF}}{{DC}} = \frac{{AF}}{{AC}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{QF}}{{DC}}$ hay $\frac{{EF}}{{QF}} = \frac{{BC}}{{DC}}$ (đpcm).

*) Xét $\Delta BFC$ vuông tại F có $FM$ là đường trung tuyến nên $FM = MB$ (3)

Vì $Δ A D C ∽ Δ A Q F$ (cmt) $ \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {AQF} = 90^\circ $

Suy ra $\widehat {QAF} + \widehat {AFQ} = 90^\circ $

Ta lại có: $\widehat {PBF} + \widehat {FBO} = 90^\circ $, mà $\widehat {QAF} = \widehat {FBO}$ nên $\widehat {PBF} = \widehat {AFQ}$

Mặt khác $\widehat {PFB} = \widehat {AFQ}$. Do đó $\widehat {PFB} = \widehat {PBF}$

Suy ra $\Delta PBF$ cân tại P $ \Rightarrow PB = PF$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $PM$ là đường trung trực của $BF$ $ \Rightarrow PM \bot AB$ (đpcm).

$Do đó \[T\] trùng \[M\]. Vậy ba điểm $A,M,N$ thẳng hàng (đpcm). (ảnh 2)$

Xét $\Delta GBN$ và $\Delta GSB$ có:

$\widehat {GBN} = \widehat {GSB}$ (cùng $ = \frac{1}{2}\widehat {BON}$); $\widehat {BGN}$ chung

Nên $Δ G B N ∽ Δ G S B$ (g.g) $ \Rightarrow \frac{{BN}}{{SB}} = \frac{{GB}}{{GS}} = \frac{{GC}}{{GS}}$ (1)

Xét $\Delta GCN$ và $\Delta GSC$ có:

$\widehat {GCN} = \widehat {GSC}$ (cùng $ = \frac{1}{2}\widehat {CON}$); $\widehat {CGN}$ chung

Nên $Δ G C N ∽ Δ G S C$ (g-g) $ \Rightarrow \frac{{CN}}{{SC}} = \frac{{GC}}{{GS}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{BN}}{{SB}} = \frac{{CN}}{{SC}} \Rightarrow \frac{{BN}}{{CN}} = \frac{{SB}}{{SC}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ (vì $SB = AC;\,\,SC = AB$)

$ \Rightarrow BN.AB = CN.AC$

Gọi $T$ là giao điểm $BC,\,NA$. Ta có: $\frac{{TB}}{{TC}} = \frac{{TB}}{{TA}} \cdot \frac{{TA}}{{TC}}$

Ta lại có: $Δ T B N ∽ Δ T A C$ (g-g); $Δ T C N ∽ Δ T A B$ (g-g)

$\frac{{TB}}{{TA}} = \frac{{BN}}{{AC}};\,\frac{{TA}}{{TC}} = \frac{{AB}}{{CN}}$$ \Rightarrow \frac{{TB}}{{TC}} = \frac{{BN.AB}}{{AC.CN}} = 1$

Suy ra \[T\] là trung điểm của \[BC\]

Do đó \[T\] trùng \[M\]. Vậy ba điểm $A,M,N$ thẳng hàng (đpcm).

Câu 2

Trong buổi lễ khai giảng năm học mới, để chuẩn bị chỗ ngồi của các bạn học sinh mới trúng tuyển vào lớp 10, thầy giáo quản sinh dự định xếp ghế (mỗi ghế là một chỗ ngồi) thành một số hàng và mỗi hàng có số ghế bằng nhau. Nếu tăng thêm 1 hàng nhưng mỗi hàng bớt đi 1 ghế thì số chỗ ngồi tăng thêm 10 chỗ. Nếu bớt đi 1 hàng nhưng tăng thêm mỗi hàng 2 ghế thì số chỗ ngồi tăng thêm 9 chỗ. Hỏi theo dự định xếp ghế ban đầu của thầy giáo quản sinh thì có bao nhiêu chỗ ngồi?

Lời giải

Gọi số hàng ghế theo dự định là \[x\] (hàng), số ghế mỗi hàng theo dự định là \[y\] (ghế) \[\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right).\]

Số chỗ ban đầu theo dự định là \[xy\] (chỗ)

Nếu tăng thêm 1 hàng thì số hàng là \[x + 1\] (hàng)

Mỗi hàng bớt đi 1 ghế thì số ghế mỗi hàng là \[y - 1\] (ghế)

Khi đó số chỗ ngồi tăng thêm 10 chỗ nên ta có phương trình \[\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy + 10\]

Nếu bớt đi 1 hàng thì số hàng là \[x - 1\] (hàng)

Tăng thêm mỗi hàng 2 ghế thì số ghế mỗi hàng là \[y + 2\] (ghế)

Khi đó số chỗ ngồi tăng thêm 9 chỗ nên ta có phương trình \[\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 9\].

Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy + 10\\\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 9\end{array} \right.\].

Giải hệ phương trình ta được \[x = 19,y = 29\] (TMĐK)

Vậy số chỗ ban đầu theo dự định là \[xy = 19.29 = 551\] (chỗ).

Câu 3

Một cuộc điều tra về thời gian sử dụng mạng Internet trong ngày của học sinh lớp 9 tại một trường trung học cơ sở cho kết quả như sau:

Thời gian (giờ)

\[\left[ {0;\,\,0,5} \right)\]

\[\left[ {0,5;\,\,1} \right)\]

\[\left[ {1;\,\,1,5} \right)\]

\[\left[ {1,5;\,\,2} \right)\]

\[\left[ {2;\,\,2,5} \right)\]

Tỉ lệ

\[20\% \]

\[25\% \]

\[15\% \]

\[22\% \]

\[18\% \]

Nhóm nào có tần số tương đối lớn nhất? Biết rằng để thu được bảng thống kê trên, người ta lập phiếu điều tra và thu về 200 phiếu trả lời. Tính số học sinh của nhóm có tần số tương đối lớn nhất.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

(2,0 điểm)

a) Tính $A = \sqrt {36} - \frac{{\sqrt {18} }}{{\sqrt 2 }}$.

b) Rút gọn biểu thức $B = \left( {\frac{{2\sqrt x + x}}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)$ với $x > 0,x \ne 1$.

c) Tìm $a$ để đường thẳng $y = 2x - 1$ cắt đường parabol $y = a{x^2}$ tại điểm có tung độ bằng 3.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hai chiếc hộp I và II, trong đó hộp I chứa 3 tấm thẻ ghi các số 1; 2; 3 và hộp II chứa 4 tấm thẻ ghi các số 1; 2; 3; 4. Rút ngẫu nhiên mỗi hộp một chiếc thẻ và ghép thành số có hai chữ số với chữ số trên tấm thẻ rút ra từ hộp I là chữ số hàng chục. Tính xác suất của biến cố \[A\]: “Số tạo thành chia hết cho 3”.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong tháng 3 năm 2026, do ảnh hưởng của xung đột vũ trang tại Trung Đông nên giá xăng dầu thế giới và trong nước diễn biến phức tạp. Từ 23 giờ 45 phút ngày 10/3, Liên Bộ Công Thương – Tài chính trích lập và chỉ sử dụng Quỹ Bình ổn giá xăng dầu để điều chỉnh giá xăng dầu (Báo Điện tử chính phủ). Theo đó, xăng RON95-III giảm 4000đ/lít. Biết cùng với số tiền 957 nghìn đồng khi mua xăng RON95-III sau thời điểm bình ổn giá sẽ được nhiều hơn 4 lít so với thời điểm chưa bình ổn giá. Tính giá xăng RON95-III trước thời điểm bình ổn giá.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Toán

Toán

Toán

Toán

Thời gian (giờ)	\[\left[ {0;\,\,0,5} \right)\]	\[\left[ {0,5;\,\,1} \right)\]	\[\left[ {1;\,\,1,5} \right)\]	\[\left[ {1,5;\,\,2} \right)\]	\[\left[ {2;\,\,2,5} \right)\]
Tỉ lệ	\[20\% \]	\[25\% \]	\[15\% \]	\[22\% \]	\[18\% \]

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Toán

Toán

Toán

Toán

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM