Một ca nô chạy với tốc độ \(18km/h\) vượt qua một khúc sông nước chảy xiết theo đoạn đường \[BC\] mất 6 phút. Biết rằng đường đi của ca nô tạo với bờ sông một góc \({50^ \circ }.\)Chiều rộng \(AC\)của khúc sông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị km) là: 

Từ điểm \(M\)nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ hai tiếp tuyến \(MA,MB\) tới đường tròn với \(A,B\) là các tiếp điểm. Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(MO\). Gọi \(I\) và \(S\) lần lượt là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với \(OA\)tại \(O\)và các đường thẳng \[AB,MB.\]

1) Chứng minh tứ giác \(MAOB\) nội tiếp.

2) Chứng minh rằng \(SO = SM\)

3) Lấy \(G\) đối xứng với \(O\) qua \(S\), gọi \(E\) là giao điểm của \(MO\) và \(AG\). Chứng minh rằng \(E{G^2} > EH.EO\)

1) Chứng minh tứ giác \(MAOB\) nội tiếp.

Xét tứ giác \(MAOB\), có:

\[MA \bot AO\,(gt) \Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ \] \( \Rightarrow A\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

\[MB \bot OB\,(gt) \Rightarrow \widehat {MBO} = 90^\circ \]\( \Rightarrow B\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

0,5

\[ \Rightarrow \] bốn điểm\(M,A,O,B\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(MAOB\) nội tiếp

0,5

2) Chứng minh rằng \(SO = SM\)

Ta có : \(OA = OB\) suy ra \(\Delta OAB\) cân tại O có OM là phân giác ( Theo định lí hai tiếp tuyến cắt nhau) nên đồng thời là đường cao. Do đó \(OM \bot AB\) tại H

Lại có \(\widehat {SOM} = \widehat {OAB}\)( cùng phụ \(\widehat {AOH}\)) (1)

0,25

Vì tứ giác \(MAOB\) nội tiếp nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OMB} = \widehat {OM{\rm{S}}}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {OM{\rm{S}}} = \widehat {O{\rm{S}}M}\], suy ra \[\Delta OM{\rm{S}}\] cân tại S nên \(SO = SM\)

0,25

3) Lấy \(G\) đối xứng với \(O\) qua \(S\), gọi \(E\) là giao điểm của \(MO\) và \(AG\). Chứng minh rằng \(E{G^2} > EH.EO\)

Ta có \(SO = SG\) ( giả thiết) và \(SO = SM\) ( câu b) nên \(SO = SG = SM = \frac{1}{2}OG\)

Suy ra \(\Delta OMG\) vuông tại M

Do đó \(GM \bot OM\) mà \(AH \bot OM\)nên \(GM//AH\)

Xét \(\Delta AEH\)có \(GM//AH\), suy ra \(\frac{{GE}}{{E{\rm{A}}}} = \frac{{ME}}{{EH}}\)

Xét \(\Delta A{\rm{EM}}\)có \(GO//MA\), suy ra \(\frac{{GE}}{{E{\rm{A}}}} = \frac{{OE}}{{ME}}\)

Do đó \(\frac{{ME}}{{EH}} = \frac{{OE}}{{ME}} \Rightarrow M{E^2} = OE.HE\)

Xét \(\Delta GME\)vuông tại M do \(GM \bot OM\)có cạnh huyền GE lớn nhất nên \(GE > EM\), suy ra \(G{E^2} > E{M^2}\)

Do đó \(G{E^2} > EO.EH\)

0,25

0,25

Câu 12

Để phục vụ công tác bảo đảm an ninh, trật tự, an toàn giao thông , hai phường Hạc Thành và Đông Sơn tham gia lắp đặt camera AI. Trong tháng thứ nhất, cả hai phường đã lắp được 180 chiếc camera. Sang tháng thứ hai, phường Hạc Thành vượt mức \(10\% \), phường Đông Sơn vượt mức \(12\% \) so với tháng thứ nhất nên cả hai phường đã lắp được 200 chiếc. Hỏi trong tháng thứ nhất, mỗi phường lắp được bao nhiêu chiếc camera?

Gọi số camera phường Hạc Thành và phường Đông Sơn lắp được trong tháng thứ nhất lần lượt là \(x\,\)(chiếc) và \(y\) (chiếc) (ĐK:\(x,y \in {\mathbb{N}^*};\,\,x < 180;\,\,y < 180\)).

0,25

Do trong tháng thứ nhất, cả hai phường đã lắp được 180 chiếc camera nên ta có phương trình: \(x + y = 180\)            (1)

0,25

Sang tháng thứ hai, phường Hạc Thành vượt mức \(10\% \), phường Đông Sơn vượt mức \(12\% \) so với tháng thứ nhất nên:

Số camera phường Hạc Thành lắp được trong tháng thứ hai là:

\(x + 10\% x = 1,1x\) (chiếc).

Số camera phường Đông Sơn lắp được trong tháng thứ hai là

\(y + 12\% y = 1,12y\) (chiếc)

0,25

Do tháng thứ hai cả hai phường lắp được 200 chiếc nên ta có phương trình:

\(1,1x + 1,12y = 200\)                         (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 180\,\\1,1x + 1,12y = 200\end{array} \right.\)

Giải hệ ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 80\\y = 100\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy trong tháng thứ nhất, phường Hạc Thành lắp được 80 chiếc camera, phường Đông Sơn lắp được 100 chiếc camera.

0,25