PHẦN II. TỰ LUẬN (8,0 điểm)

(1,5 điểm)

a) (0,75 điểm). Giải phương trình: \({x^2} - 3x - 1 = 0.\)

b) (0,75 điểm). Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x + 3y = - 2\end{array} \right.\)

Từ điểm \(M\)nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ hai tiếp tuyến \(MA,MB\) tới đường tròn với \(A,B\) là các tiếp điểm. Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(MO\). Gọi \(I\) và \(S\) lần lượt là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với \(OA\)tại \(O\)và các đường thẳng \[AB,MB.\]

1) Chứng minh tứ giác \(MAOB\) nội tiếp.

2) Chứng minh rằng \(SO = SM\)

3) Lấy \(G\) đối xứng với \(O\) qua \(S\), gọi \(E\) là giao điểm của \(MO\) và \(AG\). Chứng minh rằng \(E{G^2} > EH.EO\)

1) Chứng minh tứ giác \(MAOB\) nội tiếp.

Xét tứ giác \(MAOB\), có:

\[MA \bot AO\,(gt) \Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ \] \( \Rightarrow A\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

\[MB \bot OB\,(gt) \Rightarrow \widehat {MBO} = 90^\circ \]\( \Rightarrow B\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

0,5

\[ \Rightarrow \] bốn điểm\(M,A,O,B\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(MAOB\) nội tiếp

0,5

2) Chứng minh rằng \(SO = SM\)

Ta có : \(OA = OB\) suy ra \(\Delta OAB\) cân tại O có OM là phân giác ( Theo định lí hai tiếp tuyến cắt nhau) nên đồng thời là đường cao. Do đó \(OM \bot AB\) tại H

Lại có \(\widehat {SOM} = \widehat {OAB}\)( cùng phụ \(\widehat {AOH}\)) (1)

0,25

Vì tứ giác \(MAOB\) nội tiếp nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OMB} = \widehat {OM{\rm{S}}}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {OM{\rm{S}}} = \widehat {O{\rm{S}}M}\], suy ra \[\Delta OM{\rm{S}}\] cân tại S nên \(SO = SM\)

0,25

3) Lấy \(G\) đối xứng với \(O\) qua \(S\), gọi \(E\) là giao điểm của \(MO\) và \(AG\). Chứng minh rằng \(E{G^2} > EH.EO\)

Ta có \(SO = SG\) ( giả thiết) và \(SO = SM\) ( câu b) nên \(SO = SG = SM = \frac{1}{2}OG\)

Suy ra \(\Delta OMG\) vuông tại M

Do đó \(GM \bot OM\) mà \(AH \bot OM\)nên \(GM//AH\)

Xét \(\Delta AEH\)có \(GM//AH\), suy ra \(\frac{{GE}}{{E{\rm{A}}}} = \frac{{ME}}{{EH}}\)

Xét \(\Delta A{\rm{EM}}\)có \(GO//MA\), suy ra \(\frac{{GE}}{{E{\rm{A}}}} = \frac{{OE}}{{ME}}\)

Do đó \(\frac{{ME}}{{EH}} = \frac{{OE}}{{ME}} \Rightarrow M{E^2} = OE.HE\)

Xét \(\Delta GME\)vuông tại M do \(GM \bot OM\)có cạnh huyền GE lớn nhất nên \(GE > EM\), suy ra \(G{E^2} > E{M^2}\)

Do đó \(G{E^2} > EO.EH\)

0,25

0,25

Gọi x, y lần lượt là số xe đạp thể thao và xe đạp đường phố mà cửa hàng đầu tư trong Quý I năm 2026 với (\[x,{\rm{ }}y \in \mathbb{N}\]). Vì tổng nhu cầu thị trường không vượt quá 100 chiếc nên: \[x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}100\]
Số tiền đầu tư là: 20x + 10y (triệu đồng)

Vì vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên: 20x + 10y ≤ 1200

Lợi nhuận dự kiến là: A = 3,5x + 2y (triệu đồng)

0,25

Ta có:

\[20A = 20\left( {3,5x + 2y} \right) = 70x + 40y = 10\left( {x + y} \right) + 3\left( {20x + 10y} \right) \le 10\cdot100 + 3\cdot1200 = 4600\]
Suyra:\[A \le 230\](triệu đồng)
Dấu \('' = ''\)xảy ra khi:\(\left\{ \begin{array}{l}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}100\\20x{\rm{ }} + {\rm{ }}10y{\rm{ }} = {\rm{ }}1200\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 80\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy trong Quý I năm 2026 cửa hàng cần kinh doanh 20 xe đạp thể thao và 80 xe đạp đường phố để lợi nhuận thu được lớn nhất là 230 triệu đồng.

0,25