(1,0 điểm) Trong một vườn cỏ phẳng có hai vòi phun nước xoay tròn đặt tại hai địa điểm \(A\) và \(B\) cách nhau \(10\,{\rm{m}}\). Vòi tại \(A\) có bán kính phun xa \(8\)m, vòi tại \(B\) có bán kính phun xa \(6\)m. Hãy tính diện tích phần vườn cỏ được tưới bởi cả hai vòi phun (lấy \(\pi \approx 3,14;\) làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

   

Ý

Nội dung

Điểm

(1,0 điểm)

Gọi vận tốc của xe du lịch lúc đi là \(x\) (km/h). Điều kiện: \(x > 10\)

0,25

Vận tốc của xe du lịch lúc về là: \(x - 10\) (km/h).

Thời gian lúc đi là \(\frac{{60}}{x}\) (giờ), thời gian lúc về là \(\frac{{60}}{{x - 10}}\) (giờ)

0,25

Đổi: 30 phút = \(0,5\)giờ

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 0,5 giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{{60}}{{x - 10}} - \frac{{60}}{x} = 0,5\)

0,25

Giải phương trình ta được

\({x_1} = \frac{{5 + 35}}{1} = 40\) (thỏa mãn điều kiện)

\({x_2} = \frac{{5 - 35}}{1} =  - 30\) (loại vì \(x > 10\))

Vận tốc của xe du lịch lúc đi là 40 km/h.

0,25

5.1

(0,5 điểm)

Thể tích của cái ly là \[V = \frac{1}{3}\pi {.4^2}.7\]

0,25

  \( = \frac{{112}}{3}\pi  \approx 117,23\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

0,25

5.2

a)

(1,0 điểm)

Chỉ ra \(\Delta AMH\) vuông tại \(H,\) suy ra ba điểm \(A,H,M\) thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)

0,25

Tương tự ta có ba điểm \(A,H,N\) thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)

Do đó bốn điểm \(A,M,H,N\) thuộc đường tròn đường kính \(AH,\) nên tứ giác \[AMHN\] nội tiếp.

0,25

Chứng minh được \(\widehat {ABC} = \widehat {ANM}.\)

0,25

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) nên \(\widehat {ANM} = \widehat {ADC}.\)

0,25

b)

(0,5 điểm)

Xét \(\left( O \right)\)có \(AD\) là đường kính nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ ,\) suy ra \(\widehat {DAC} + \widehat {ADC} = 90^\circ .\)

Mà \(\widehat {ANM} = \widehat {ADC}\) nên \(\widehat {DAC} + \widehat {ANM} = 90^\circ .\) Do đó \(NM \bot AD.\)

0,25

Chỉ ra \[AN.AC = A{H^2},\] mà \(\;AH = R\sqrt 2 \) nên \[AN.AC = 2{R^2} = R.2R = AO.AD,\]

suy ra \[\frac{{AN}}{{AD}} = \frac{{AO}}{{AC}} \cdot \] Do đó $\Delta AON\backsim \Delta ACD$ (c.g.c) nên \(\widehat {AON} = \widehat {ACD} = 90^\circ .\)

Do đó \(NO \bot AD.\) Nên ba điểm \[M,\,O,\,N\] thẳng hàng.

0,25