Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật (tham khảo hình bên dưới). Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trọng tâm tam giác \(SAB\) và tam giác \(SCD\). Khi đó \(MN\) song song với mặt phẳng nào sau đây?  

Đáp án: 320.

Gọi đường kính của các quả bóng được thả vào máng 5 theo thứ tự không giảm là

\({d_1} \le {d_2} \le {d_3} \le {d_4} \le {d_5}\).

Do có đúng một quả bóng có đường kính bằng 4 và đúng một quả bóng có đường kính bằng 5 và đường kính các lỗ trong máng 5 là \(1,2,3,4,5\) nên\({d_4} = 4;{d_5} = 5\) và \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1} \le {d_2} \le {d_3} \le 3\\{d_1} \le 1\\{d_2} \le 2\end{array} \right.\).

Nên các bộ \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3}} \right)\) lần lượt là \(\left\{ {\left( {1;1;1} \right),\left\{ {1;1;2} \right\};\left\{ {1;1;3} \right\},\left\{ {1;2;2} \right\};\left\{ {1;2;3} \right\}} \right\}\).

Với \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3}} \right) = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \)số dãy \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3};{d_4};{d_5}} \right)\) thỏa mãn là hoán vị của \(\left( {1;1;1;4;5} \right)\)

\( \Rightarrow \)có \(\frac{{5!}}{{3!}} = 20\) dãy.

Với \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3}} \right) = \left( {1;1;2} \right) \Rightarrow \)số dãy \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3};{d_4};{d_5}} \right)\) thỏa mãn là hoán vị của \(\left( {1;1;2;4;5} \right)\)

\( \Rightarrow \)có \(\frac{{5!}}{{2!}} = 60\) dãy.

Với \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3}} \right) = \left( {1;1;3} \right) \Rightarrow \)số dãy \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3};{d_4};{d_5}} \right)\) thỏa mãn là hoán vị của \(\left( {1;1;3;4;5} \right)\)

\( \Rightarrow \)có \(\frac{{5!}}{{2!}} = 60\) dãy.

Với \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3}} \right) = \left( {1;2;2} \right) \Rightarrow \)số dãy \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3};{d_4};{d_5}} \right)\) thỏa mãn là hoán vị của \(\left( {1;2;2;4;5} \right)\)

\( \Rightarrow \)có \(\frac{{5!}}{{2!}} = 60\) dãy.

Với \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3}} \right) = \left( {1;2;3} \right) \Rightarrow \)số dãy \(\left( {{d_1};{d_2};{d_3};{d_4};{d_5}} \right)\) thỏa mãn là hoán vị của \(\left( {1;2;3;4;5} \right)\)

\( \Rightarrow \)có \(5! = 120\) dãy.

Vậy số dãy đẹp của máng 5 là \(20 + 60.3 + 120 = 320\).

Đáp án: \(4,33\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ

\(A\left( {3;0;0} \right)\), \(C\left( {0;4;0} \right)\), \(B'\left( {0;0;4} \right)\), \(A'\left( {3;0;4} \right)\), \(D\left( {3;4;0} \right)\), \(C'\left( {0;4;4} \right)\), \(D'\left( {3;4;4} \right)\).

Tổ kiến ở điểm \(C\left( {0;4;0} \right)\).

+ Kiến 1 di chuyển trên đường gấp khúc \(A'B\) và \(BC\) với \(A'B = 5,BC = 4\).

+ Kiến \(2\) di chuyển trên đường gấp khúc \(DC',C'C\) với \(D'C = 5,CC' = 4\).

Khi Kiến \(2\) còn cách tổ \(1m\), tức là nó đang ở trên đoạn \(CC'\) và cách \(C\) một khoảng \(1m\). Quãng đưuòng Kiến \(2\) đã đi được là \({d_2} = 5 + 3 = 8\) (m).

Thời gian di chuyển của Kiến \(2\) là \(t = \frac{{{d_2}}}{{{v_2}}} = \frac{8}{{0,06}} = \frac{{400}}{3}\)(s).

Vị trí của con kiến \(2\) là \({K_2}\left( {0;4;1} \right)\).

Trong thời gian \(t = \frac{{400}}{3}\left( s \right)\) con Kiến \(1\) đi được quãng đường \({d_1} = {v_1} \cdot t = 0,02 \cdot \frac{{400}}{3} = \frac{8}{3}\) (m).

Vì \({d_1} = \frac{8}{3} < 5\) nên con kiến 1 vẫn ở trên đoạn \(A'B\).

Gọi \({K_1}\) là vị trí của con kiến \(1\) sau khi đi \(\frac{{400}}{3}\left( s \right)\). Ta có \(\overrightarrow {A'B}  = \frac{{{d_1}}}{5}\overrightarrow {A'B}  = \frac{8}{{15}}\overrightarrow {A'B} \)

\( \Rightarrow {K_1}\left( {\frac{7}{5};0;\frac{{28}}{{15}}} \right)\).

Khoảng cách giữa hai con kiến lúc này bằng

\({K_1}{K_2} = \sqrt {{{\left( {0 - \frac{7}{5}} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - \frac{{28}}{{15}}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{842}}{{45}}}  \approx 4,33\left( m \right)\).