Trong âm nhạc, một quãng tám (octave) là khoảng cách âm thanh từ nốt Đô tới nốt Đô tiếp theo, theo thứ tự từ thấp đến cao là:

Đô – Đô– Rê – Rê– Mi (E4) – Pha – Pha– Sol – Sol– La (A4) – La– Si – Đô

trong đó khoảng cách giữa hai nốt liên tiếp gọi là một nửa cung (semitone). Hai nốt cách nhau \(n\) nửa cung thì tỷ lệ tần số nốt cao \({f_{nc}}\) và tần số nốt thấp \({f_{nt}}\) là \(\frac{{{f_{nc}}}}{{{f_{nt}}}} = {2^{\frac{n}{{12}}}}\); cho biết tần số chuẩn của nốt La (A4) là \(440Hz\). Trên đàn guitar, dây số \(1\) là nốt Mi (E4) đang bị chùng do thời tiết, tần số đo được hiện tại đang là \(300Hz\). Để căng lại dây đàn cho chuẩn, ta dùng núm xoay, và cứ vặn núm xoay \(90^\circ \) thì nốt nhạc được tăng lên một nửa cung. Hỏi phải xoay núm của dây số \(1\) một góc bao nhiêu độ để dây số \(1\) trở về âm chuẩn (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng đơn vị)?

a) Phương trình chính tắc của parabol lcó dạng \[{y^2} = 2px\].

Do parabol đi qua điểm \[M(2;1)\] nên \[{1^2} = 2p.2 \Rightarrow p = \frac{1}{4}\].

Vậy phương trình của parabol là \[{y^2} = \frac{1}{2}x\]. Chọn đúng

b) Tổng diện tích hai nửa hình tròn đường kính \[AB,\,\,CD\] là \[{S_1} = \pi .{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{9\pi }}{4}\,(c{m^2}).\]

Diện tích hình vuông \[ABCD\] là \[{S_2} = {3^2} = 9\,(c{m^2}).\]

Diện tích phần giới hạn bởi parabol và đường thẳng \[MN\] là \[{S_3} = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{1}{2}x} }  = \frac{8}{3}\,(c{m^2}).\]

Vậy diện tích mặt cắt (làm tròn tới hàng đơn vị) là \[S = {S_1} + {S_2} - {S_3} = \frac{{9\pi }}{4}\, + 9 - \frac{8}{3} \approx 13(c{m^2}).\] Chọn sai

c) Thể tích phần lõm của giá để bút được tính bằng công thức \[\pi \int\limits_0^2 {{y^2}dx = } \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}xdx} \]. Chọn đúng

d) Phương trình đường tròn đường kính AB là \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\]. Suy ra Phương trình nửa đường tròn đường kính AB là \[y = \frac{3}{2} + \sqrt {\frac{9}{4} - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} \].

Thể tích của toàn bộ giá để bút là \[V = \pi {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {\frac{3}{2} + \sqrt {\frac{9}{4} - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} } \right)} ^2}dx - \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}xdx}  \approx 65,5\,(c{m^3})\]. Chọn sai.

Đáp án: 126.

Áp dụng công thức tô \(k\) màu cho \(n\) đỉnh trên 1 vòng tròn

\({\left( {k - 1} \right)^n} + {\left( { - 1} \right)^n}\left( {k - 1} \right)\).

Vậy số cách phát đề cho các thí sinh ngồi quanh bàn tròn là

\({\left( {3 - 1} \right)^7} + {\left( { - 1} \right)^7}\left( {3 - 1} \right) = 126\).