Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\), có nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) là hàm số \(y = F\left( x \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới Biết diện tích hai phần gạch chéo \({S_1}\), \({S_2}\) lần lượt là \(8\) và \(20\). Cho \(F\left( 4 \right) = 7\).

Đáp án: 28,3 lít.

Gọi parabol có dạng \(x = a{y^2}\), đi qua các điểm \((20;30)\) nên \(20 = a \times {30^2} \Leftrightarrow a = \frac{2}{{90}}\).

Vậy \(x = \frac{2}{{90}}{y^2} \Leftrightarrow {y^2} = 45x \Rightarrow y = \sqrt {45x} \)

Dung tích của thùng bằng \(V = \pi \int\limits_0^{20} {{{\left( {\sqrt {45x} } \right)}^2}dx}  = 9000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right) = 9\pi \,\,(d{m^3})\)\( \approx 28,3\) lít.

Đáp án: 9

Gắn hệ trục toạ độ \(Oxyz\), với \(O \equiv A\left( {0;\,0;\,0} \right),\,Ox \equiv AB,\,Oy \equiv AD,\,Oz \equiv AS\) như hình vẽ.

+ Khi đó, ta có toạ độ các điểm \(B\left( {a;\,0;\,0} \right),\,D\left( {0;\,a;\,0} \right),\,C\left( {a;\,a;\,0} \right)\).

+Ta có \(AC = a\sqrt 2  \Rightarrow SA = a \Rightarrow S\left( {0;\,0;\,a} \right)\)

+ Từ đó suy ra \(M\left( {\frac{a}{2};\,0;\,\frac{a}{2}} \right),\,N\left( {0;\,\frac{a}{2};\,\frac{a}{2}} \right),\,P\left( {\frac{a}{2};\,a;\,0} \right),\,Q\left( {a;\,\frac{a}{2};\,0} \right)\).

\(\overrightarrow {AM} \left( {\frac{a}{2};\,0;\,\frac{a}{2}} \right),\,\overrightarrow {AN} \left( {0;\,\frac{a}{2};\,\frac{a}{2}} \right),\,\overrightarrow {AP} \left( {\frac{a}{2};\,a;\,0} \right),\,\overrightarrow {AQ} \left( {a;\,\frac{a}{2};\,0} \right)\).

\(MNPQ\) là hình bình hành nên

\({V_{A.MNPQ}} = 2{V_{A.MNP}} = 2.\frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {AN} } \right].\overrightarrow {AP} } \right| = \frac{1}{3}.\left| { - \frac{{{a^2}}}{4}.\frac{a}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}.a + \frac{{{a^2}}}{4}.0} \right| = \frac{{{a^3}}}{8}\).

\( \Rightarrow m = 1,\,n = 8 \Rightarrow m + n = 1 + 8 = 9\).