Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), biết \(SC = a\sqrt 3 \). Gọi \(M,\,N,\,P,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SB,\,SD,\,CD,\,BC\). Thể tích của khối \(A.MNPQ\) có dạng \(\frac{{m{a^3}}}{n}\) (với \(m,\,n\) là các số tự nhiên). Tính \(m + n\).

a) Sai

Ta có \(G(4;6;5)\).

b) Đúng

Độ dốc mái nhà là góc nhị diện $[Q,FG,H]={45}^{°}$. Tam giác EFP cân tại \(P\), gọi \(I\) là trung điểm EF. Khi đó \(P\) nằm trên đường trung trực của EF.

\(I\) là trung điểm \(EF \Rightarrow I(2;0;5)\).

Vì mái nhà dốc \(45^\circ \), xét tam giác vuông tại \(I\) (với đỉnh là \(P\)): $PI=\frac{EF}{2}\cdot \tan \left({45}^{°}\right)=\frac{4}{2}\cdot 1=2m$

Vậy cao độ của đỉnh mái nhà \(P\) là: \({z_P} = {z_E} + PI = 5 + 2 = 7m\).

Tọa độ \(P(2;0;7)\) và \(Q(2;6;7)\).

Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu từ \(O\) qua E, H đến \(M\) bằng \(11 + \sqrt {10} {\rm{ m}}\).

\(M\) là trung điểm GQ. \(G(4;6;5)\) và \(Q(2;6;7) \Rightarrow M\left( {\frac{{4 + 2}}{2};\frac{{6 + 6}}{2};\frac{{5 + 7}}{2}} \right) = M(3;6;6)\).

Đoạn đường đi: \(O \to E \to H \to M\).

\(OE = 5m\).

\(EH = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(6 - 0)}^2} + {{(5 - 5)}^2}}  = 6m\).

\(HM = \sqrt {{{(3 - 0)}^2} + {{(6 - 6)}^2} + {{(6 - 5)}^2}}  = \sqrt {{3^2} + {0^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} m\).

Tổng độ dài: \(5 + 6 + \sqrt {10}  = 11 + \sqrt {10} m\).

c) Đúng

Điểm \(Q\) có cao độ \(z = 7\)nên chiều cao của kho hàng bằng 7.

d) Đúng

Tọa độ của \(\overrightarrow {PQ} \) là \((0;6;0)\).

\(\overrightarrow {PQ}  = ({x_Q} - {x_P};{y_Q} - {y_P};{z_Q} - {z_P}) = (2 - 2;6 - 0;7 - 7) = (0;6;0)\).

Đáp án: 28,3 lít.

Gọi parabol có dạng \(x = a{y^2}\), đi qua các điểm \((20;30)\) nên \(20 = a \times {30^2} \Leftrightarrow a = \frac{2}{{90}}\).

Vậy \(x = \frac{2}{{90}}{y^2} \Leftrightarrow {y^2} = 45x \Rightarrow y = \sqrt {45x} \)

Dung tích của thùng bằng \(V = \pi \int\limits_0^{20} {{{\left( {\sqrt {45x} } \right)}^2}dx}  = 9000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right) = 9\pi \,\,(d{m^3})\)\( \approx 28,3\) lít.