Một công ty tiến hành khai thác \(15\) giếng dầu trong khu vực được chỉ định. Trung bình mỗi giếng dầu chiết xuất được \(231\)thùng dầu mỗi ngày. Công ty có thể khai thác nhiều hơn \(15\) giếng dầu nhưng cứ khai thác thêm một giếng thì lượng dầu mỗi giếng chiết xuất được hằng ngày sẽ giảm \(7\) thùng. Để giám đốc công ty có thể quyết định số giếng cần thêm cho phù hợp, hãy chỉ ra số giếng công ty khai thác thêm để sản lượng dầu chiết xuất lớn nhất.

Đáp án: 28,3 lít.

Gọi parabol có dạng \(x = a{y^2}\), đi qua các điểm \((20;30)\) nên \(20 = a \times {30^2} \Leftrightarrow a = \frac{2}{{90}}\).

Vậy \(x = \frac{2}{{90}}{y^2} \Leftrightarrow {y^2} = 45x \Rightarrow y = \sqrt {45x} \)

Dung tích của thùng bằng \(V = \pi \int\limits_0^{20} {{{\left( {\sqrt {45x} } \right)}^2}dx}  = 9000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right) = 9\pi \,\,(d{m^3})\)\( \approx 28,3\) lít.

Đáp án: 9

Gắn hệ trục toạ độ \(Oxyz\), với \(O \equiv A\left( {0;\,0;\,0} \right),\,Ox \equiv AB,\,Oy \equiv AD,\,Oz \equiv AS\) như hình vẽ.

+ Khi đó, ta có toạ độ các điểm \(B\left( {a;\,0;\,0} \right),\,D\left( {0;\,a;\,0} \right),\,C\left( {a;\,a;\,0} \right)\).

+Ta có \(AC = a\sqrt 2  \Rightarrow SA = a \Rightarrow S\left( {0;\,0;\,a} \right)\)

+ Từ đó suy ra \(M\left( {\frac{a}{2};\,0;\,\frac{a}{2}} \right),\,N\left( {0;\,\frac{a}{2};\,\frac{a}{2}} \right),\,P\left( {\frac{a}{2};\,a;\,0} \right),\,Q\left( {a;\,\frac{a}{2};\,0} \right)\).

\(\overrightarrow {AM} \left( {\frac{a}{2};\,0;\,\frac{a}{2}} \right),\,\overrightarrow {AN} \left( {0;\,\frac{a}{2};\,\frac{a}{2}} \right),\,\overrightarrow {AP} \left( {\frac{a}{2};\,a;\,0} \right),\,\overrightarrow {AQ} \left( {a;\,\frac{a}{2};\,0} \right)\).

\(MNPQ\) là hình bình hành nên

\({V_{A.MNPQ}} = 2{V_{A.MNP}} = 2.\frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {AN} } \right].\overrightarrow {AP} } \right| = \frac{1}{3}.\left| { - \frac{{{a^2}}}{4}.\frac{a}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}.a + \frac{{{a^2}}}{4}.0} \right| = \frac{{{a^3}}}{8}\).

\( \Rightarrow m = 1,\,n = 8 \Rightarrow m + n = 1 + 8 = 9\).