Câu hỏi:

10/05/2026 5

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 29\], hai điểm \[A\left( {0;0;4} \right),B\left( {6; - 2;6} \right)\] và đường thẳng \[d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 8}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{2}\]. Gọi \[M\] là điểm thuộc mặt cầu \[\left( S \right)\] sao cho \[\widehat {AMB} = 90^\circ \].

a) Điểm \[A\] nằm trên mặt cầu \[\left( S \right)\] và điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu \[\left( S \right)\].

Đúng

Sai

b) Đường thẳng \[d\] là tiếp tuyến của mặt cầu \[\left( S \right)\].

Đúng

Sai

c) Điểm \[M\] nằm trên mặt phẳng \[\left( P \right):x - y + 2z - 8 = 0\].

Đúng

Sai

d) Gọi \[\left( {a;b;c} \right)\] là tọa độ điểm \[M\] khi khoảng cách từ điểm \[M\] đến đường thẳng \[d\] ngắn nhất. Giá trị của \[T = {a^2} + {b^2} + {c^2}\] bằng \[10\].

Đúng

Sai

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Sơn La lần 2 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Đúng: Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {0;2; - 1} \right)\] và bán kính là \[R = \sqrt {29} \].

Ta có: \[\overrightarrow {IA} = \left( {0; - 2;5} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {29} = R\], do đó điểm \[A\] nằm trên mặt cầu \[\left( S \right)\].

\[\overrightarrow {IB} = \left( {6; - 4;7} \right) \Rightarrow IB = \sqrt {101} > R\], do đó điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu \[\left( S \right)\].

b) Sai: Gọi \[H\left( {4 + t; - 8 - t;4 + 2t} \right)\] là hình chiếu vuông góc của \[I\left( {0;2; - 1} \right)\] lên đường thẳng \[d\].

Ta có: \[\overrightarrow {IH} = \left( {t + 4; - t - 10;2t + 5} \right)\]; \[\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\] là vectơ chỉ phương của \[d\].

\[\overrightarrow {IH} .\overrightarrow u = 0 \Rightarrow 1.\left( {t + 4} \right) - 1.\left( { - t - 10} \right) + 2\left( {2t + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 4\].

\[ \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {0; - 6; - 3} \right) \Rightarrow IH = 3\sqrt 5 > R\]

Do đó, \[d\] không phải là tiếp tuyến của mặt cầu \[\left( S \right)\].

c) Đúng: Do \[\widehat {AMB} = 90^\circ \] nên điểm \[M\] nằm trên mặt cầu \[\left( {S'} \right)\] đường kính \[AB\].

Phương trình của \[\left( {S'} \right)\] là \[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 11\].

Mặt khác, \[M\] là điểm thuộc mặt cầu \[\left( S \right)\], do đó tọa độ điểm \[M\] thỏa mãn hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2} = 29\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 5} \right)}^2} = 11}\end{array}} \right. \Rightarrow x - y + 2z - 8 = 0\].

Vậy \[M\] nằm trên đường tròn \[\left( C \right)\] là giao tuyến của \[\left( S \right)\] và \[\left( {S'} \right)\], đường tròn \[\left( C \right)\] nằm trên mặt phẳng \[\left( P \right):x - y + 2z - 8 = 0\].

d) Sai: Gọi \[H\] là tâm của đường tròn giao tuyến của đường tròn \[\left( C \right)\], khi đó \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[I\] lên \[\left( P \right)\].

$Vậy \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 12\].Mặt khác \[MH = \sqrt {I{M (ảnh 1)$

Ta có: \[d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 2\sqrt 6 \]

\[IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = 2 - t\,\,\,\,\,}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right. \Rightarrow H\left( {t;2 - t; - 1 + 2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {t; - t;2t} \right) \Rightarrow IH = \sqrt {6{t^2}} \].

Do \[IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) \Rightarrow 6{t^2} = 24 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{t = - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{H\left( {2;0;3} \right)}\\{H\left( { - 2;4; - 5} \right)}\end{array}} \right.\].

Do \[H \in \left( P \right)\] nên \[H\left( {2;0;3} \right)\].

Gọi \[N\] là giao điểm của \[d\] và \[\left( P \right)\]\[ \Rightarrow N\left( {2; - 6;0} \right) \Rightarrow NH = 3\sqrt 5 \].

Mặt khác \[MH = \sqrt {I{M^2} - I{H^2}} = \sqrt {29 - 24} = \sqrt 5 \].

\[ \Rightarrow NH = 3MH \Rightarrow 2\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 \Rightarrow M\left( {2; - 2;2} \right)\].

Vậy \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 12\].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một xưởng mộc tại Mai Sơn sản xuất những chiếc bàn cờ Ô ăn quan bằng gỗ nguyên khối. Mặt trên của bàn cờ là một mặt phẳng được thiết kế và có kích thước như hình vẽ gồm ba phần: phần chính giữa là một hình chữ nhật có chiều dài $100$ cm và chiều rộng $40$ cm ; hai "ô quan" ở hai đẩu trái và phải là hai hình phẳng bằng nhau được ghép nối liền mạch với hai cạnh chiều rộng của hình chữ nhật. Biết rằng đường bao ngoài của mỗi "ô quan" là một cung tròn.

Xưởng mộc tiến hành phủ một lớp keo bảo vệ bóng lên toàn bộ bề mặt trên của chiếc bàn cờ này. Biết chi phí vật tư và nhân công đề phử keo là $100.000$ đồng $/{{\rm{m}}^2}$. Tính tổng chi phí $x$ (nghìn đồng) để hoàn thiện việc phử keo cho mặt bàn cờ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án:

Đáp án: $46$.

Một xưởng mộc tại Mai Sơn sản xuất những chiếc bàn cờ Ô ăn quan bằng gỗ nguyên khối. Mặt trên của bàn cờ là một mặt phẳng được thiết kế và có kích thước như hình vẽ gồm ba phần: phần chính giữa là một hình chữ nhật có chiều dài 100 cm và chiều rộng 40 cm (ảnh 2)

Gọi ${S_1}$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi cung tròn.

Ta có diện tích bàn cờ $S = {S_{ABCD}} + 2{S_1}$

${S_{ABCD}} = 1 \times 0,4 = 0,4$(m$^2$).

Gọi $R$ là bán kính đường tròn có hình quạt ${S_1}$ tương ứng.

$ \Rightarrow {\left( {R - 0,1} \right)^2} + 0,{2^2} = {R^2}$

$ \Rightarrow R = 0,25$

Gọi $\alpha $ là góc ở tâm của hình quạt.

$\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{{0,2}}{{0,25}} = \frac{4}{5}$

Suy ra ${S_1} = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{4}{5}} \right) \times 0,{25^2} - \frac{1}{2}\left( {0,25 - 0,1} \right) \times 0,4$.

Tổng chi phí là $T = \left( {0,4 + 2 \times {S_1}} \right) \times 100 = 45,5911$.

Câu 2

Trong một trò chơi thám hiểm, anh Sơn phải vượt qua một mê cung gồm các phòng thông nhau như sơ đồ dưới đây. Tại mỗi phòng, anh Sơn sẽ chọn ngẫu nhiên một trong các cửa thông với phòng hiện tại (với xác suất như nhau) để đi tiếp. Quá trình di chuyển diễn ra liên tục và trò chơi sẽ kết thúc ngay khi anh bước vào phòng chứa Kho báu hoặc phòng có Bẫy. Biết anh Sơn bắt đầu từ Phòng 1, tính xác suất để anh tìm được kho báu. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.)

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án:

0,67

Đáp án: $0,67$.

Gọi ${P_1},{P_2},{P_3},{P_4}$ lần lượt là xác suất anh Sơn tìm được kho báu khi anh ấy đang ở phòng 1, phòng 2, phòng

Trường hợp 1: Anh Sơn xuất phát từ phòng 1

Trong một trò chơi thám hiểm, anh Sơn phải vượt qua một mê cung gồm các phòng thông nhau như sơ đồ dưới đây. Tại mỗi phòng, anh Sơn sẽ chọn ngẫu nhiên một trong các cửa thông với phòng hiện tại (với xác suất như nhau) để đi tiếp. (ảnh 2)

${P_1} = \frac{1}{3}{P_2} + \frac{1}{3}{P_3} + \frac{1}{3}$ (1)

Trường hợp 2: Anh Sơn xuất phát từ phòng 2

${P_2} = \frac{1}{2}{P_1} + \frac{1}{2}{P_4}{\rm{ }}(2)$

Trường hợp 3: Anh Sơn xuất phát từ phòng 3

Trong một trò chơi thám hiểm, anh Sơn phải vượt qua một mê cung gồm các phòng thông nhau như sơ đồ dưới đây. Tại mỗi phòng, anh Sơn sẽ chọn ngẫu nhiên một trong các cửa thông với phòng hiện tại (với xác suất như nhau) để đi tiếp. (ảnh 4)

${P_3} = \frac{1}{2}{P_1} + \frac{1}{2}{P_4}{\rm{ }}(3)$

Trường hợp 4: Anh Sơn xuất phát từ phòng 4

${P_4} = \frac{1}{3}{P_2} + \frac{1}{3}{P_3}$(4)

Từ (1) (2) (3) (4) suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{P_1} = \frac{2}{3}}\\{{P_2} = \frac{1}{2}}\\{{P_3} = \frac{1}{2}}\\{{P_4} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.$.

Xác suất để anh Sơn tìm được kho báu là: ${P_1} = \frac{2}{3} \approx 0,67$

Từ (1) (2) (3) (4) suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{P_1} = \frac{2}{3}}\\{{P_2} = \frac{1}{2}}\\{{P_3} = \frac{1}{2}}\\{{P_4} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.$.

Xác suất để anh Sơn tìm được kho báu là: ${P_1} = \frac{2}{3} \approx 0,67$.

Câu 3

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}$ có đồ thị như hình vẽ:

$Chọn D Ta có: ${u_4} = {u_1} + 3d = 2 + 3.5 = 17$. (ảnh 1)$

a) Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \{ 2\} $.

Đúng

Sai

b) Tổng hai hệ số $c$ và $d$ bằng 1.

Đúng

Sai

c) Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = - x$.

Đúng

Sai

d) Để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $OA \bot OB$ thì $m$ là nghiệm của phương trình ${m^2} - 2m - 3 = 0$.

Đúng

Sai

Lời giải