Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 29\], hai điểm \[A\left( {0;0;4} \right),B\left( {6; - 2;6} \right)\] và đường thẳng \[d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 8}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{2}\]. Gọi \[M\] là điểm thuộc mặt cầu \[\left( S \right)\] sao cho \[\widehat {AMB} = 90^\circ \].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đúng: Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {0;2; - 1} \right)\] và bán kính là \[R = \sqrt {29} \].
Ta có: \[\overrightarrow {IA} = \left( {0; - 2;5} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {29} = R\], do đó điểm \[A\] nằm trên mặt cầu \[\left( S \right)\].
\[\overrightarrow {IB} = \left( {6; - 4;7} \right) \Rightarrow IB = \sqrt {101} > R\], do đó điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu \[\left( S \right)\].
b) Sai: Gọi \[H\left( {4 + t; - 8 - t;4 + 2t} \right)\] là hình chiếu vuông góc của \[I\left( {0;2; - 1} \right)\] lên đường thẳng \[d\].
Ta có: \[\overrightarrow {IH} = \left( {t + 4; - t - 10;2t + 5} \right)\]; \[\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\] là vectơ chỉ phương của \[d\].
\[\overrightarrow {IH} .\overrightarrow u = 0 \Rightarrow 1.\left( {t + 4} \right) - 1.\left( { - t - 10} \right) + 2\left( {2t + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 4\].
\[ \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {0; - 6; - 3} \right) \Rightarrow IH = 3\sqrt 5 > R\]
Do đó, \[d\] không phải là tiếp tuyến của mặt cầu \[\left( S \right)\].
c) Đúng: Do \[\widehat {AMB} = 90^\circ \] nên điểm \[M\] nằm trên mặt cầu \[\left( {S'} \right)\] đường kính \[AB\].
Phương trình của \[\left( {S'} \right)\] là \[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 11\].
Mặt khác, \[M\] là điểm thuộc mặt cầu \[\left( S \right)\], do đó tọa độ điểm \[M\] thỏa mãn hệ phương trình:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2} = 29\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 5} \right)}^2} = 11}\end{array}} \right. \Rightarrow x - y + 2z - 8 = 0\].
Vậy \[M\] nằm trên đường tròn \[\left( C \right)\] là giao tuyến của \[\left( S \right)\] và \[\left( {S'} \right)\], đường tròn \[\left( C \right)\] nằm trên mặt phẳng \[\left( P \right):x - y + 2z - 8 = 0\].
d) Sai: Gọi \[H\] là tâm của đường tròn giao tuyến của đường tròn \[\left( C \right)\], khi đó \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[I\] lên \[\left( P \right)\].
![Vậy \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 12\].Mặt khác \[MH = \sqrt {I{M (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture13-1778398688.png)
Ta có: \[d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 2\sqrt 6 \]
\[IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = 2 - t\,\,\,\,\,}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right. \Rightarrow H\left( {t;2 - t; - 1 + 2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {t; - t;2t} \right) \Rightarrow IH = \sqrt {6{t^2}} \].
Do \[IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) \Rightarrow 6{t^2} = 24 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{t = - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{H\left( {2;0;3} \right)}\\{H\left( { - 2;4; - 5} \right)}\end{array}} \right.\].
Do \[H \in \left( P \right)\] nên \[H\left( {2;0;3} \right)\].
Gọi \[N\] là giao điểm của \[d\] và \[\left( P \right)\]\[ \Rightarrow N\left( {2; - 6;0} \right) \Rightarrow NH = 3\sqrt 5 \].
Mặt khác \[MH = \sqrt {I{M^2} - I{H^2}} = \sqrt {29 - 24} = \sqrt 5 \].
\[ \Rightarrow NH = 3MH \Rightarrow 2\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 \Rightarrow M\left( {2; - 2;2} \right)\].
Vậy \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 12\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: \(46\).
Gọi \({S_1}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi cung tròn.
Ta có diện tích bàn cờ \(S = {S_{ABCD}} + 2{S_1}\)
\({S_{ABCD}} = 1 \times 0,4 = 0,4\)(m\(^2\)).
Gọi \(R\) là bán kính đường tròn có hình quạt \({S_1}\) tương ứng.
\( \Rightarrow {\left( {R - 0,1} \right)^2} + 0,{2^2} = {R^2}\)
\( \Rightarrow R = 0,25\)
Gọi \(\alpha \) là góc ở tâm của hình quạt.
\(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{{0,2}}{{0,25}} = \frac{4}{5}\)
Suy ra \({S_1} = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{4}{5}} \right) \times 0,{25^2} - \frac{1}{2}\left( {0,25 - 0,1} \right) \times 0,4\).
Tổng chi phí là \(T = \left( {0,4 + 2 \times {S_1}} \right) \times 100 = 45,5911\).
Câu 2
Lời giải
a) Quan sát đồ thị có hướng đi xuống (từ trái sáng phải) nên đây là đồ thị của hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Nên đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) luôn âm với mọi \[x \in \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \]. Suy ra a) là khẳng định sai
b) Từ đồ thị, ta có
Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = 2\). Do đó \(d = - 2\).
Giao điểm với trục tung: Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0; - 1,5)\).
Thay \(x = 0\) vào hàm số: \(f(0) = \frac{c}{d} = - 1,5\).
Với \(d = - 2 \Rightarrow \frac{c}{{ - 2}} = - 1,5 \Rightarrow c = 3\).
Vậy tổng hai hệ số \(c\) và \(d\) bằng 1 là khẳng định đúng.
c) Giao điểm với trục hoành: Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại hai điểm \(( - 1;0)\) và \((3;0)\).
Thay \(x = - 1\): \(a{( - 1)^2} + b( - 1) + 3 = 0 \Rightarrow a - b + 3 = 0 \Rightarrow a - b = - 3\) (1)
Thay \(x = 3\): \(a{(3)^2} + b(3) + 3 = 0 \Rightarrow 9a + 3b + 3 = 0 \Rightarrow 3a + b = - 1\) (2)
Giải hệ (1) và (2), ta được: \(a = - 1\) và \(b = 2\).
Vậy hàm số là: \(y = f(x) = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}}\). \(\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}} = - x + \frac{3}{{x - 2}}\)
do đó tiệm cận xiên là \(y = - x\). Khẳng định đúng.
d) Điều kiện để \(OA \bot OB\).
Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = f(x)\) và \(y = m\):
\(\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}} = m \Leftrightarrow {x^2} + (m - 2)x - 2m - 3 = 0\quad (x \ne 2)\)
Gọi \(A({x_1};m)\) và \(B({x_2};m)\). Theo định lý Vi-ét: \({x_1}{x_2} = - 2m - 3\).
Để \(OA \bot OB \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {m^2} = 0\) \( \Leftrightarrow - (2m + 3) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\).
Khẳng định đúng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập