Nhân dịp nghỉ lễ 30/4, siêu thị X in ra \(100\) phiếu thưởng được đánh số thứ tự từ \(1\) đến \(100\), mỗi phiếu ghi 1 số, các phiếu khác nhau ghi số khác nhau. Mỗi khách hàng trong \(100\) khách hàng đầu tiên đến siêu thị trong ngày 30/4 sẽ được nhận 1 phiếu thưởng. Những người nhận được phiếu thưởng có thể tìm thêm 2 người khác để ghép thành 1 nhóm có 3 người. Nếu tổng các số ghi trên 3 thẻ của 3 người trong nhóm bằng 100 thì mỗi người trong nhóm được nhận \(50000\)đ. Siêu thị quy định

1) Một người có thể ghép vào nhiều nhóm nên có thể nhận thưởng nhiều lần.

2) Mỗi nhóm 3 người chỉ được nhận thưởng 1 lần.

Hỏi ban quản lý siêu thị phải chuẩn bị số tiền thưởng lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 118.

Ta gọi số của 3 người trong một nhóm lần lượt là \(a\), \(b\), \(c\)(\(a,b,c \in \mathbb{N}*\)\(1 \le a < b < c \le 100\)).

Ta có: \(a + b + c = 100\) với điều kiện (do mỗi thẻ ghi một số khác nhau và việc lập nhóm không phân biệt thứ tự từng người).

Vì \(a < b < c\) nên ta có bất đẳng thức:

\[a + \left( {a + 1} \right) + \left( {a + 2} \right) \le a + b + c\]

\[ \Leftrightarrow 3a + 3 \le 100\]

\[ \Leftrightarrow 3a \le 97\]

\[ \Rightarrow a \le 32\]

Vậy \[a\] nhận các giá trị nguyên từ 1 đến 32.

Với một giá trị \[a\] cho trước, ta có \(b + c = 100 - a\).

Vì \(b < c\) nên \(b + b < b + c \Rightarrow 2b < 100 - a \Rightarrow b < \frac{{100 - a}}{2}\)

Mặt khác, vì \(a < b\) nên \(a + 1 \le b\). Kết hợp điều kiện ở trên ta được: \(a + 1 \le b < \frac{{100 - a}}{2}\)

TH1: \[a\] là số lẻ

Đặt \[a = 2k - 1\] với \[k \in {\mathbb{N}^*}\].

Vì \(1 \le a \le 31\) nên \(1 \le 2k - 1 \le 31 \Rightarrow 1 \le k \le 16\).

Thế \[a = 2k - 1\] vào bất phương trình của  \[b\]:

\(\left( {2k - 1} \right) + 1 \le b < \frac{{100 - \left( {2k - 1} \right)}}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2k \le b < \frac{{101 - 2k}}{2} = 50,5 - k\)

Vì \(b\) là số nguyên, điều kiện \(b < 50,5 - k \Leftrightarrow b \le 50 - k\).

Vậy \(b\) nằm trong đoạn: \(\left[ {2k\,;\,50 - k} \right]\).

Số lượng giá trị của \(b\) tạo được ứng với mỗi \(k\) là: \(\left( {50 - k} \right) - 2k + 1 = 51 - 3k\)

Thay giá trị của \(k\) từ 1 đến 16, ta được dãy số lượng nhóm: \[48,45,42, \ldots ,3\].

Đây là cấp số cộng có 16 số hạng.

Tổng của dãy cấp số cộng này là:

\({S_1} = \frac{{\left( {48 + 3} \right)\,.\,16}}{2} = 408\) (nhóm).

TH2: \[a\] là số chẵn

Đặt \(a = 2k\) với \(k \in {\mathbb{N}^*}\).

Vì \(2 \le a \le 32\) nên \(1 \le 2k \le 32 \Rightarrow 1 \le k \le 16\).

Thế \(a = 2k\) vào bất phương trình của \(b\):

\(\begin{array}{l}2k + 1 \le b < \frac{{100 - 2k}}{2}\\ \Leftrightarrow 2k + 1 \le b < 50 - k\end{array}\) .

Vì \(b\) là số nguyên, điều kiện \(b < 50 - k\) tương đương với \(b \le 49 - k\).

Vậy \(b\) nằm trong đoạn: \(\left[ {2k + 1\,;\,49 - k} \right]\).

Số lượng giá trị của \(b\) tạo được ứng với mỗi \(k\) là: \(\left( {49 - k} \right) - \left( {2k + 1} \right) + 1 = 49 - 3k\)

Lần lượt cho \(k\) chạy từ \(1\) đến 16, ta được dãy số lượng nhóm: \(46,43,40, \ldots ,1\).

Tổng của cấp số cộng này là:

\[{S_2} = \frac{{\left( {46 + 1} \right)\,.\,16}}{2} = 376\] (nhóm).

Tổng số các nhóm 3 người thoả mãn yêu cầu đề bài: \[408 + 376 = 784\](nhóm).

Tổng số tiền lớn nhất cần chuẩn bị là: \(784.150000 = 117600000\)đồng\( \approx 118\)triệu đồng.

Vậy số tiền ban quản lý siêu thị phải chuẩn bị khoảng 118 triệu đồng.