PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

 Trong kế hoạch khai thác tuyến ca nô cao tốc phục vụ du lịch sinh thái trên vùng lòng hồ Thủy điện Sơn La (từ bến Mường La đi Quỳnh Nhai) có chiều dài \(100\) km. Ban quản lý cần xác định vận tốc khai thác \(v\) (km/h) cho ca nô \((30 \le v \le 70)\) để đạt lợi nhuận kinh tế cao nhất. Các thông số được xác định như sau: Công suất tiêu thụ điện của động cơ ca nô là \(P(v) = 10{v^3}\) (W). Giá điện kinh doanh tại bến sạc là \(2000\) đồng/kWh. Chi phí vận hành cố định: Bao gồm nhân lực lái tàu, khấu hao và bến bãi, được tính là \(2500000\) đồng cho mỗi giờ ca nô chạy. Số lượng khách mua vé cho mỗi chuyến phụ thuộc vào vận tốc khai thác theo hàm số: \(N(v) = \frac{v}{5} + 20\) (hành khách). Giá vé bình quân cho tuyến này là \(500000\) đồng/khách. Hãy xác định vận tốc khai thác \(v\) để lợi nhuận ròng của mỗi chuyến ca nô trên tuyến này là lớn nhất. (Biết công thức tính điện lượng tiêu thụ là \(A = P(v)t\)).

a) Quan sát đồ thị có hướng đi xuống (từ trái sáng phải) nên đây là đồ thị của hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Nên đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) luôn âm với mọi \[x \in \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \]. Suy ra a) là khẳng định sai

b) Từ đồ thị, ta có

Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = 2\). Do đó \(d =  - 2\).

Giao điểm với trục tung: Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0; - 1,5)\).

Thay \(x = 0\) vào hàm số: \(f(0) = \frac{c}{d} =  - 1,5\).

Với \(d =  - 2 \Rightarrow \frac{c}{{ - 2}} =  - 1,5 \Rightarrow c = 3\).

Vậy tổng hai hệ số \(c\) và \(d\) bằng 1 là khẳng định đúng.

c) Giao điểm với trục hoành: Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại hai điểm \(( - 1;0)\) và \((3;0)\).

Thay \(x =  - 1\): \(a{( - 1)^2} + b( - 1) + 3 = 0 \Rightarrow a - b + 3 = 0 \Rightarrow a - b =  - 3\) (1)

Thay \(x = 3\): \(a{(3)^2} + b(3) + 3 = 0 \Rightarrow 9a + 3b + 3 = 0 \Rightarrow 3a + b =  - 1\) (2)

Giải hệ (1) và (2), ta được: \(a =  - 1\) và \(b = 2\).

Vậy hàm số là: \(y = f(x) = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}}\). \(\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}} =  - x + \frac{3}{{x - 2}}\)

do đó tiệm cận xiên là \(y =  - x\). Khẳng định đúng.

d) Điều kiện để \(OA \bot OB\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = f(x)\) và \(y = m\):

\(\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}} = m \Leftrightarrow {x^2} + (m - 2)x - 2m - 3 = 0\quad (x \ne 2)\)

Gọi \(A({x_1};m)\) và \(B({x_2};m)\). Theo định lý Vi-ét: \({x_1}{x_2} =  - 2m - 3\).

Để \(OA \bot OB \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {m^2} = 0\) \( \Leftrightarrow  - (2m + 3) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\).

Khẳng định đúng.

Đáp án: \(46\).

Gọi \({S_1}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi cung tròn.

Ta có diện tích bàn cờ \(S = {S_{ABCD}} + 2{S_1}\)

\({S_{ABCD}} = 1 \times 0,4 = 0,4\)(m\(^2\)).

Gọi \(R\) là bán kính đường tròn có hình quạt \({S_1}\) tương ứng.

\( \Rightarrow {\left( {R - 0,1} \right)^2} + 0,{2^2} = {R^2}\)

\( \Rightarrow R = 0,25\)

Gọi \(\alpha \) là góc ở tâm của hình quạt.

\(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{{0,2}}{{0,25}} = \frac{4}{5}\)

Suy ra \({S_1} = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{4}{5}} \right) \times 0,{25^2} - \frac{1}{2}\left( {0,25 - 0,1} \right) \times 0,4\).

Tổng chi phí là \(T = \left( {0,4 + 2 \times {S_1}} \right) \times 100 = 45,5911\).