Một xưởng mộc tại Mai Sơn sản xuất những chiếc bàn cờ Ô ăn quan bằng gỗ nguyên khối. Mặt trên của bàn cờ là một mặt phẳng được thiết kế và có kích thước như hình vẽ gồm ba phần: phần chính giữa là một hình chữ nhật có chiều dài \(100\) cm và chiều rộng \(40\) cm ; hai "ô quan" ở hai đẩu trái và phải là hai hình phẳng bằng nhau được ghép nối liền mạch với hai cạnh chiều rộng của hình chữ nhật. Biết rằng đường bao ngoài của mỗi "ô quan" là một cung tròn.

 

Xưởng mộc tiến hành phủ một lớp keo bảo vệ bóng lên toàn bộ bề mặt trên của chiếc bàn cờ này. Biết chi phí vật tư và nhân công đề phử keo là \(100.000\) đồng \(/{{\rm{m}}^2}\). Tính tổng chi phí \(x\) (nghìn đồng) để hoàn thiện việc phử keo cho mặt bàn cờ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

a) Quan sát đồ thị có hướng đi xuống (từ trái sáng phải) nên đây là đồ thị của hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Nên đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) luôn âm với mọi \[x \in \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \]. Suy ra a) là khẳng định sai

b) Từ đồ thị, ta có

Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = 2\). Do đó \(d =  - 2\).

Giao điểm với trục tung: Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0; - 1,5)\).

Thay \(x = 0\) vào hàm số: \(f(0) = \frac{c}{d} =  - 1,5\).

Với \(d =  - 2 \Rightarrow \frac{c}{{ - 2}} =  - 1,5 \Rightarrow c = 3\).

Vậy tổng hai hệ số \(c\) và \(d\) bằng 1 là khẳng định đúng.

c) Giao điểm với trục hoành: Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại hai điểm \(( - 1;0)\) và \((3;0)\).

Thay \(x =  - 1\): \(a{( - 1)^2} + b( - 1) + 3 = 0 \Rightarrow a - b + 3 = 0 \Rightarrow a - b =  - 3\) (1)

Thay \(x = 3\): \(a{(3)^2} + b(3) + 3 = 0 \Rightarrow 9a + 3b + 3 = 0 \Rightarrow 3a + b =  - 1\) (2)

Giải hệ (1) và (2), ta được: \(a =  - 1\) và \(b = 2\).

Vậy hàm số là: \(y = f(x) = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}}\). \(\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}} =  - x + \frac{3}{{x - 2}}\)

do đó tiệm cận xiên là \(y =  - x\). Khẳng định đúng.

d) Điều kiện để \(OA \bot OB\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = f(x)\) và \(y = m\):

\(\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}} = m \Leftrightarrow {x^2} + (m - 2)x - 2m - 3 = 0\quad (x \ne 2)\)

Gọi \(A({x_1};m)\) và \(B({x_2};m)\). Theo định lý Vi-ét: \({x_1}{x_2} =  - 2m - 3\).

Để \(OA \bot OB \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {m^2} = 0\) \( \Leftrightarrow  - (2m + 3) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\).

Khẳng định đúng.

Đáp án: 50.

Chiều dài tuyến là \(100\) km, vận tốc khai thác là \(v\) km/h, nên thời gian một chuyến là:

 \(t = \frac{{100}}{v}\) (giờ).

Doanh thu

Số khách: \(N(v) = \frac{v}{5} + 20\).

Giá vé bình quân \(500000\) đồng/khách nên doanh thu:

\(R(v) = 500000\left( {\frac{v}{5} + 20} \right) = 100000v + 10000000\).

Chi phí điện

Công suất: \(P(v) = 10{v^3}\) (W) \( = 0,01{v^3}\) (kW).

Điện lượng tiêu thụ: \(A = P(v)t = 0,01{v^3} \cdot \frac{{100}}{v} = {v^2}\) (kWh).

Tiền điện: \({C_1}(v) = 2000{v^2}\).

Chi phí vận hành cố định: \({C_2}(v) = 2500000 \cdot \frac{{100}}{v} = \frac{{250000000}}{v}\).

Lợi nhuận ròng: \(L(v) = R(v) - {C_1}(v) - {C_2}(v)\)\( = 100000v + 10000000 - 2000{v^2} - \frac{{250000000}}{v}\).

Xét đạo hàm: \(L'(v) = 100000 - 4000v + \frac{{250000000}}{{{v^2}}}\).

Giải \(L'(v) = 0\), hay \(100000 - 4000v + \frac{{250000000}}{{{v^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow {v^3} - 25{v^2} - 62500 = 0\)\( \Leftrightarrow v = 50\).

Lại có \(L'(v) > 0\) khi \(v < 50\) và \(L'(v) < 0\) khi \(v > 50\), nên lợi nhuận lớn nhất tại \(v = 50{\rm{ km/h}}\).