Anh An có số vốn tự có là một tỷ đồng. Để mua căn hộ chung cư tiềm năng, anh vay thêm ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất \(10,5\% \) /năm. Theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm. Anh dùng toàn bộ số tiền 2 tỷ đồng để mua căn hộ với giá 40 triệu đồng/\({m^2}\). Sau đúng hai năm đầu tư, giá chung cư khu vực đó tăng lên, anh bán lại với giá 52 triệu đồng/\({m^2}\). Ngay sau khi nhận tiền bán nhà, anh thực hiện tất toán toàn bộ khoảng nợ (gốc và lãi) cho ngân hàng. Hỏi sau khi trừ đi tất cả chi phí nợ vay, anh An còn lại số tiền lãi là bao nhiêu triệu đồng so với số vốn 1 tỷ đồng ban đầu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị triệu đồng)

Đáp án: 5893.

Mỗi thí sinh chọn ngẫu nhiên 4 câu hỏi từ bộ 12 câu (có hoàn lại sau mỗi lượt chọn của từng người).

Số cách chọn của mỗi thí sinh là \(C_{12}^4.\) Vì ba thí sinh chọn độc lập, tổng số trường hợp xảy ra là:

\(n\left( \Omega  \right) = {\left( {C_{12}^4} \right)^3} = {495^3}.\)

Gọi \({x_i}\) là số câu hỏi \(i\) bạn cùng chọn. Khi đó, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_3} \ge 1\\{x_1} + {x_2} + {x_3} = 9\\{x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = 12\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 7\\{x_2} = {x_3} = 1\end{array} \right.\)

Tức là chọn 1 câu chung cho cả 3 người, 1 câu chung cho 2 người, và 7 câu chỉ có 1 người chọn.

Bước 1: Chọn các câu hỏi mục tiêu từ bộ 12 câu:

Chọn một câu cho \(3\) bạn \(\left( {{x_3} = 1} \right)\) có \(12\) cách.

Chọn 1 câu cho 2 bạn \(\left( {{x_2} = 1} \right)\)có \(11\) cách còn lại.

Chọn 7 câu cho 1 bạn \(\left( {{x_1} = 7} \right)\) có \(C_{10}^7\) cách còn lại

Bước 2: Phân bổ các câu hỏi vào từng thí sinh:

Số câu \(A\) cần thêm là \(2\)

Số câu \(B\) cần thêm là \(2\) \( \Rightarrow C_7^2.\,C_5^2.\,C_3^3\)

Số câu \(C\) cần thêm là \(3\)

Chọn \(2\) trong \(3\) bạn nhận câu \({x_2}\) có \(C_3^2\)

Xác suất \(P = \frac{{12.11.C_{10}^7.C_7^2.\,C_5^2.\,C_3^3.C_3^2}}{{{{\left( {C_{12}^4} \right)}^3}}} = \frac{{448}}{{5445}} = \frac{a}{b}.\)

Vậy \(a + b = 5893.\)

Chú thích: Đề đã bổ sung lời văn diễn đạt so với lời văn của đề gốc ở đoạn: “bao gồm cả những câu ở Điều kiện 1”.

Đáp án: 2,6.

Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(CD\), \(BC\).

Mà \(\Delta ACD\) và \(\Delta ABC\) là các tam giác đều nên \(AM \bot CD\) và \(AN \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AM\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).

Khi đó, \(\left[ {S,CD,B} \right] = \left[ {S,CD,A} \right] = \widehat {SMA} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow AN = AM = SA \times \cot \widehat {SMA} = 3\sqrt 3  \times \cot 60^\circ  = 3\) (cm).

Ta có \[AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\]\( \Rightarrow d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\)

Kẻ \(AH \bot SN\) (1)

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AN\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow BC \bot AH\] (2)

Từ (1), (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\)

hay \(d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Lại có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \approx 2,6\) (cm).