Anh An có số vốn tự có là một tỷ đồng. Để mua căn hộ chung cư tiềm năng, anh vay thêm ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất \(10,5\% \) /năm. Theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm. Anh dùng toàn bộ số tiền 2 tỷ đồng để mua căn hộ với giá 40 triệu đồng/\({m^2}\). Sau đúng hai năm đầu tư, giá chung cư khu vực đó tăng lên, anh bán lại với giá 52 triệu đồng/\({m^2}\). Ngay sau khi nhận tiền bán nhà, anh thực hiện tất toán toàn bộ khoảng nợ (gốc và lãi) cho ngân hàng. Hỏi sau khi trừ đi tất cả chi phí nợ vay, anh An còn lại số tiền lãi là bao nhiêu triệu đồng so với số vốn 1 tỷ đồng ban đầu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị triệu đồng)

Đáp án: \[197\].        

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ, mỗi đơn vị là \(1\;mm\). Khi đó toạ độ các điểm là \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {8;4} \right),\;A\left( {20;0} \right),\;C\left( {0;20} \right)\).

Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua \(3\) điểm \(O\left( {0;0} \right),\;M\left( {8;4} \right),\;A\left( {20;0} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\64a + 8b + c = 4\\400a + 20b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a =  - \frac{1}{{24}}\\b = \frac{5}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y =  - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;10} \right)\) và bán kính \(R = 10\), có phương trình \({x^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow y = 10 \pm \sqrt {100 - {x^2}} \)

Gọi \(S\) là diện tích của hình vuông \(OABC\),

\({S_1}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành, \(x = 0,\;x = 20\),

\({S_2}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), nửa đường tròn \(y = 10 - \sqrt {100 - {x^2}} \), \(x = 0,\;x = 8.\)

\({S_3}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) và trục tung như hình vẽ,

Diện tích cần phủ men sứ màu xanh để đơn vị sản xuất báo giá chính xác chi phí vật liệu là

\(S + {S_2} - {S_3} - {S_1}\)

\( = {20^2} + \int\limits_0^8 {\left[ { - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x - \left( {10 - \sqrt {100 - {x^2}} } \right)} \right]} dx - \frac{1}{2}\pi {.10^2} - \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{24}}{x^2} + \frac{5}{6}x} \right)dx \approx 197} \,m{m^2}\).

Đáp án: 1375.

Giả sử công ty sản xuất \[x\] sản phẩm (\[x > 1000,x \in \mathbb{N}\]).

- Doanh thu từ việc bán \[x\] sản phẩm được tính theo hai mức giá:

+Doanh thu từ 1000 sản phẩm đầu: \[1000 \times 650 = 650000\] (USD).

+Doanh thu từ sản phẩm thứ 1001 trở đi: \[\left( {x - 1000} \right) \times 450\] (USD).

- Tổng doanh thu: \[R\left( x \right) = 650000 + 450\left( {x - 1000} \right) = 450x + 200000\].

- Chi phí sản xuất: \[C\left( x \right) = 0,1{x^2} + 100x + 20000\,{\rm{(USD)}}.\]

- Thuế phụ thu \[t\] trên mỗi sản phẩm tính từ sản phẩm thứ 1001: \[T(x) = t\left( {x - 1000} \right)\].

- Tổng chi phí và thuế là:\[{C_{total}}\left( x \right) = 0,1{x^2} + 100x + 20000 + t\left( {x - 1000} \right)\].

- Lợi nhuận bằng doanh thu trừ đi tổng chi phí:

\[\begin{array}{l}P\left( x \right) = R\left( x \right) - {C_{total}}\left( x \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {450x + 200000} \right) - \left[ {0,1{x^2} + 100x + 20000 + t\left( {x - 1000} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 0,1{x^2} + \left( {350 - t} \right)x + 180000 + 1000t\end{array}\]

Lợi nhuận đạt cực đại khi: \[x = \frac{{ - (350 - t)}}{{2( - 0,1)}} = \frac{{350 - t}}{{0,2}} = 1750 - 5t\].

Số tiền thuế cơ quan nhà nước thu được là: \[T(t) = t\left( {x - 1000} \right)\].

Thay \[x = 1750 - 5t\] vào biểu thức trên ta được:

\[T\left( t \right) = t\left( {1750 - 5t - 1000} \right) = t\left( {750 - 5t} \right) =  - 5{t^2} + 750t\].

Tiền thuế \[T\left( t \right)\]đạt giá trị lớn nhất khi: \[t = \frac{{ - 750}}{{2( - 5)}} = 75\] (USD/sản phẩm).

Khi mức thuế \[t = 75\] USD được áp dụng, để lợi nhuận của công ty lớn nhất thì số lượng sản phẩm cần sản xuất là: \[x = 1750 - 5.75 = 1750 - 375 = 1375{\rm{ }}\](sản phẩm)