Cho tập \(S = \{ 1;2;...;20\} \) gồm \(20\)số tự nhiên từ \(1\) đến \(20\). Lấy ngẫu nhiên \(3\)số khác nhau thuộc \(S\). Xác suất để \(3\)số lấy ra lập thành cấp số cộng hoặc cấp số nhân là \(\frac{a}{b}\) (với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\)). Tính \(b - a\).

Đáp án: \(5\).

Số lượng vi khuẩn trong hồ bơi là

\(F\left( t \right) = \int {\frac{{1000}}{{{{\left( {1 + 0,2 \cdot t} \right)}^2}}}{\rm{d}}t = \frac{{ - 5000}}{{1 + 0,2t}}}  + C\).

Tại thời điểm ban đầu, số lượng vi khuẩn trong hồ bơi là \(500\) con nên ta có

         \(\frac{{ - 5000}}{{1 + 0,2 \cdot 0}} + C = 500 \Leftrightarrow C = 5500\).

Do đó \(F\left( t \right) = \frac{{ - 5000}}{{1 + 0,2 \cdot t}} + 5500\).

Vì hồ bơi chỉ an toàn khi số lượng vi khuẩn trong hồ bơi nhỏ hơn \(3000\) nên số ngày hồ bơi sử dụng được là: \(\frac{{ - 5000}}{{1 + 0,2 \cdot t}} + 5500 < 3000 \Leftrightarrow 1 + 0,2 \cdot t < 2 \Leftrightarrow t < 5\).

Vậy sau \(5\) ngày thì người ta nên thay nước mới cho hồ bơi.

a) Đúng. Trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) ta có \(v\left( t \right) = 5\) \(\left( {m/s} \right)\). Suy ra \(v\left( 1 \right) = 5\) \(\left( {m/s} \right)\).

b) Sai. Xét trên đoạn \(\left[ {2;5} \right]\), giả sử parabol có phương trình \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Khi đó parabol đi qua các điểm \(\left( {2;5} \right)\), \(\left( {3;4} \right)\), \(\left( {5;8} \right)\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + c = 5\\a \cdot {3^2} + b \cdot 3 + c = 4\\a \cdot {5^2} + b \cdot 5 + c = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 6\\c = 13\end{array} \right.\). Suy ra \(v\left( t \right) = {t^2} - 6t + 13\).

Suy ra \(v\left( 4 \right) = 5\) \(\left( {m/s} \right)\).

c) Sai. Xét trên đoạn \(\left[ {3;7} \right]\), giả sử đường thẳng có phương trình \(v\left( t \right) = mt + n\,\,\left( {m \ne 0} \right)\).

Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {5;8} \right),\,\left( {7;0} \right)\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}5 \cdot m + n = 8\\7 \cdot m + n = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 4\\n = 28\end{array} \right.\). Suy ra \(v\left( t \right) =  - 4t + 28\).

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ \(t = 3\) đến \(t = 7\) bằng

\(S = \int\limits_3^7 {v\left( t \right)dt} \)\( = \int\limits_3^5 {\left( {{t^2} - 6t + 13} \right)dt}  + \int\limits_5^7 {\left( { - 4t + 28} \right)dt}  = \frac{{56}}{3} \approx 18,67\) \(\left( m \right)\).

d) Đúng. Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ \(t = 2\) đến \(t = 7\) là

\(\frac{1}{{7 - 2}}\int\limits_2^7 {v\left( t \right)dt}  = \frac{1}{5}\left( {\int\limits_2^5 {\left( {{t^2} - 6t + 13} \right)dt}  + \int\limits_5^7 {\left( { - 4t + 28} \right)dxt} } \right) = 4,6\) \(\left( {m/s} \right)\).