Cho tập \(S = \{ 1;2;...;20\} \) gồm \(20\)số tự nhiên từ \(1\) đến \(20\). Lấy ngẫu nhiên \(3\)số khác nhau thuộc \(S\). Xác suất để \(3\)số lấy ra lập thành cấp số cộng hoặc cấp số nhân là \(\frac{a}{b}\) (với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\)). Tính \(b - a\).

Đáp án: 1039

Số phần tử không gian mẫu: \(n(\Omega ) = C_{20}^3 = 1140\).

·            Số tập con lập thành cấp số cộng:

Gọi \(a,b,c\) là cấp số cộng thì \(a + c = 2b\) chẵn \( \Rightarrow a,c\) cùng tính chẵn lẻ. Chọn 2 số chẵn có \(C_{10}^2 = 45\) cách, chọn 2 số lẻ có \(C_{10}^2 = 45\) cách (mỗi cặp xác định duy nhất 1 giá trị \(b\) ở giữa). Có 90 bộ.

·            Số tập con lập thành cấp số nhân \((a < b < c \Rightarrow ac = {b^2})\)

Ta có \[{\rm{a}},b,c\] lập thành CSN có công bội \(q < 1\) nên \(q = \frac{m}{n}\)\(\left( {m > n \ge 1} \right)\); \(\frac{m}{n}\) tối giản

\(c = a{q^2} = a\frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}\) mà \(c \in \{ 1;2;...;20\} \)suy ra \(a \vdots {n^2}\)suy ra \(a = k{n^2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(b = aq = k{n^2}\frac{m}{n} = kmn\)

\(c = a{q^2} = k{n^2}\frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} = k{m^2}\)

Suy ra CSN đó là \(\left\{ {k{n^2};kmn;k{m^2}} \right\}\)

Vì \(c \le 20 \Rightarrow k{m^2} \le 20\) mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\) suy ra \(m \in \left\{ {2;3;4} \right\}\)

TH1: \(m = 2;n = 1\)

\(k{m^2} \le 20\)Suy ra \(k \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)

\(\{ 1;2;4\} ,\{ 2;4;8\} ,\{ 3;6;12\} ,\{ 4;8;16\} ,\{ 5;10;20\} \)

TH2: \(m = 3;n = 1;n = 2\)

\(k{m^2} \le 20\)Suy ra \(k \in \left\{ {1;2} \right\}\)

Với \(m = 3;n = 1;k \in \left\{ {1;2} \right\}\)

\(\{ 1;3;9\} ,\{ 2;6;18\} \)

Với \(m = 3;n = 2;k \in \left\{ {1;2} \right\}\)

\(\{ 4;6;9\} ,\{ 8;12;18\} \)

TH3: \(m = 4;n \in \left\{ {1;3} \right\};k = 1\)( \(\frac{m}{n}\) tối giản nên \(n \ne 2\))

\(m = 4;n = 1;k = 1\): \(\{ 1;4;16\} \)

\(m = 4;n = 3;k = 1\): \(\{ 9;12;16\} \)

Tổng cộng có 11 bộ.

Nếu \[a;b;c\] vừa là CSC; vừa là CSN thì

\(\left\{ \begin{array}{l}a + c = 2b\\{b^2} = ac\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + c}}{2}} \right)^2} = ac \Leftrightarrow {\left( {a + c} \right)^2} = 4ac \Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = c\) (loại)

Không có tập nào vừa là CSC vừa là CSN

Vậy xác suất là \(P = \frac{{90 + 11}}{{1140}} = \frac{{101}}{{1140}}\).

Suy ra \(a = 101,b = 1140 \Rightarrow b - a = 1039\).