Cho hai đường tròn \(\left( {{O_1};10} \right)\) và \(\left( {{O_2};8} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A,B\) sao cho \(AB\) là một đường kính của đường tròn \(\left( {{O_2}} \right)\). Gọi \(\left( H \right)\) là phần hình phẳng được tô đậm ở hình vẽ dưới đây. Quay \(\left( H \right)\) quanh trục \({O_1}{O_2}\) ta được một khối tròn xoay. Gắn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ. Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai? 

a) Sai.

Gọi \({V_1}\) là thể tích của nửa khối cầu tâm \({O_2}\), bán kính \({R_2} = 8\);

\({V_2}\) là thể tích của khối chỏm cầu bán kính \({R_1} = 10\), chiều cao \({O_2}H\).

Ta có \({V_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{{1024}}{3}\pi \).

Trong tam giác \(A{O_1}{O_2}\) vuông tại \({O_2}\) có \({O_1}{O_2} = \sqrt {A{O_1}^2 - A{O_2}^2}  = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}}  = 6\).

Suy ra \({O_2}H = {O_1}H - {O_1}{O_2} = 10 - 6 = 4\).

Do đó \({V_2} = \pi  \cdot {O_2}{H^2}\left( {{R_1} - \frac{{{O_2}H}}{3}} \right) = \pi  \cdot {4^2}\left( {10 - \frac{4}{3}} \right) = \frac{{416}}{3}\pi \).

Vậy thể tích khối tròn xoay thu được là \(V = {V_1} - {V_2} = \frac{{608}}{3}\pi \).

b) Sai.

Toạ độ điểm \({O_1}\) là \({O_1}\left( { - 6;0} \right)\). Suy ra phương trình đường tròn \(\left( {{O_1};10} \right)\) là \({\left( {x + 6} \right)^2} + {y^2} = 100\).

c) Đúng.

Toạ độ điểm \({O_2}\) là \({O_2}\left( {0;0} \right)\). Suy ra phương trình đường tròn \(\left( {{O_2};8} \right)\) là \({x^2} + {y^2} = 64\).

d) Sai.

Diện tích nửa hình tròn \(\left( {{O_2};8} \right)\) là \({S_1} = \frac{1}{2} \cdot 4\pi R_2^2 = 32\pi \).

Gọi \(\left( K \right)\) là phần hình phẳng giới hạn bởi đường \(y = \sqrt {100 - {{\left( {x + 6} \right)}^2}} \), trục hoành, \(x = 0\) và \(x = 4\). Khi đó diện tích hình phẳng \(\left( K \right)\) là \({S_K} = \int\limits_0^4 {\sqrt {100 - {{\left( {x + 6} \right)}^2}} {\rm{d}}x} \).

Vậy diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \(S = {S_1} - 2{S_K} = 32\pi  - 2\int\limits_0^4 {\sqrt {100 - {{\left( {x + 6} \right)}^2}} {\rm{d}}x} \).

Lưu ý:

a) Thể tích khối tròn xoay thu được là \[V = \pi \int\limits_0^8 {\left( {64 - {x^2}} \right)dx - \pi \int\limits_0^4 {\left( {100 - \left( {x + {6^2}} \right)} \right)dx} }  = \frac{{608}}{3}\pi \].

d) Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \(S = 2\int\limits_0^8 {\sqrt {64 - {x^2}} {\rm{d}}x}  - 2\int\limits_0^4 {\sqrt {100 - {{\left( {x + 6} \right)}^2}} {\rm{d}}x} \).

hay \(S = 32\pi  - 2\int\limits_0^4 {\sqrt {100 - {{\left( {x + 6} \right)}^2}} {\rm{d}}x} \)