PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án

Tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x{\rm{d}}x} \).

Xoay chiếc đôn theo chiều nằm ngang và chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây

Khi đó chiếc đôn là khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\)  và các đường thẳng \[x =  - 25,\,\,x = 25\] xung quanh trục \(Ox\).

Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Dựa vào yêu cầu thiết kế, ta có \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {25;20} \right)\), \(B\left( { - 25;20} \right)\) và có đỉnh là \[I\left( {0;15} \right)\].

Do đó, ta có hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{625a + 25b + c = 20}\\{625a - 25b + c = 20}\\{c = 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{{125}}}\\{b = 0}\\{c = 15}\end{array}} \right.\].

Khi đó thể tích chiếc đôn là: \[V = \pi \int\limits_{ - 25}^{25} {{{\left( {\frac{1}{{125}}{x^2} + 15} \right)}^2}dx = 14000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)} \]

Ta tính được khối lượng đồng cần dùng là: \[m = \frac{{14000\pi }}{{{{10}^6}}}.8960 = \frac{{3136\pi }}{{25}}\,\,\left( {kg} \right)\].

Vậy chi phí cần bỏ ra để làm một chiếc đôn là: \[\frac{{3136\pi }}{{25}}\,.0,22 + 10 \approx 96,7\] triệu đồng.

Đáp án: 24

·            Đơn vị độ dài: 1 đơn vị = 100 m.

·            Độ cao cột ăng-ten: h = 100 m= 1 đơn vị.

·            Bán kính phủ sóng: \(R = 100\sqrt {54} m = \sqrt {54} \) đơn vị.

·            Tọa độ các điểm:

o          Chân cột \(H({x_H},{y_H},{z_H}) \in (P)\).

o          Đỉnh cột \(S\) nằm thẳng đứng phía trên \(H\): \(S({x_H},{y_H},{z_H} + 1)\).

o          A, B thuộc biên vùng phủ sóng \( \Rightarrow SA = SB = R = \sqrt {54} \).

·            Vì \(H \in (P)\) nên: \({x_H} + {y_H} - 4{z_H} - 7 = 0 \Leftrightarrow {x_H} + {y_H} = 4{z_H} + 7\) (1).

 \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} = 54\\S{B^2} = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({x_H} + 2)^2} + {({y_H} - 3)^2} + {({z_H} + 1)^2} = 54\\{({x_H} - 2)^2} + {({y_H} - 1)^2} + {({z_H} + 1)^2} = 54\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({x_H} + 2)^2} + {({y_H} - 3)^2} + {({z_H} + 1)^2} = 54\\{({x_H} + 2)^2} + {({y_H} - 3)^2} = {({x_H} - 2)^2} + {({y_H} - 1)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({x_H} + 2)^2} + {({y_H} - 3)^2} + {({z_H} + 1)^2} = 54\\{y_H} = 2{x_H} + 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({x_H} + 2)^2} + {({y_H} - 3)^2} + {({z_H} + 1)^2} = 54\\{y_H} = 2{x_H} + 2\\(1) \Rightarrow {x_H} + (2{x_H} + 2) = 4{z_H} + 7 \Rightarrow {z_H} = \frac{{3{x_H} - 5}}{4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {({x_H} - 2)^2} + {(2{x_H} + 2 - 1)^2} + {\left( {\frac{{3{x_H} - 5}}{4} + 1} \right)^2} = 54\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_H} = 3\\{x_H} =  - \frac{{261}}{{89}}\end{array} \right.\end{array}\)

·            Với \({x_H} = 3\): \({y_H} = 2(3) + 2 = 8\) và \({z_H} = \frac{{3(3) - 5}}{4} = 1\) (Thỏa mãn \(z \ge 0\)).

·            Với \({x_H} =  - \frac{{261}}{{89}}\): \({z_H} < 0\) (Loại).

Vậy tọa độ chân cột là \(H(3;8;1)\).

Giá trị của \(T\) là:  \(T = 3 \cdot 8 \cdot 1 = 24\)