Trong hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị: km), mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, trục Oz hướng thẳng đứng lên trên. Một trạm ra-đa đặt tại gốc \(O\) với bán kính quét tối đa \(R = 120\;km\). Một vật thể bắt đầu chuyển động từ vị trí \(A\left( {6;8;0} \right)\) với vận tốc tại thời điểm t giây tính từ khi xuất phát là \(v\left( t \right) = 20 + 0,6t - 0,0015{t^2}\;\left( {m/s} \right)\) và bay theo hướng vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\). Sau một khoảng thời gian chưa đầy 5 phút, vật thể đến vị trí \(B\) có độ cao \(8\;\left( {km} \right)\). 

Xoay chiếc đôn theo chiều nằm ngang và chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây

Khi đó chiếc đôn là khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\)  và các đường thẳng \[x =  - 25,\,\,x = 25\] xung quanh trục \(Ox\).

Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Dựa vào yêu cầu thiết kế, ta có \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {25;20} \right)\), \(B\left( { - 25;20} \right)\) và có đỉnh là \[I\left( {0;15} \right)\].

Do đó, ta có hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{625a + 25b + c = 20}\\{625a - 25b + c = 20}\\{c = 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{{125}}}\\{b = 0}\\{c = 15}\end{array}} \right.\].

Khi đó thể tích chiếc đôn là: \[V = \pi \int\limits_{ - 25}^{25} {{{\left( {\frac{1}{{125}}{x^2} + 15} \right)}^2}dx = 14000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)} \]

Ta tính được khối lượng đồng cần dùng là: \[m = \frac{{14000\pi }}{{{{10}^6}}}.8960 = \frac{{3136\pi }}{{25}}\,\,\left( {kg} \right)\].

Vậy chi phí cần bỏ ra để làm một chiếc đôn là: \[\frac{{3136\pi }}{{25}}\,.0,22 + 10 \approx 96,7\] triệu đồng.

a) Đúng

Ta có: \(Q'\left( t \right) = f\left( t \right) - g\left( t \right) = 400.{e^{ - 0,01t}} - 20.{e^{0,04t}}\).

Hàm số \(Q\left( t \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(h\left( t \right) = 400.{e^{ - 0,01t}} - 20.{e^{0,04t}}\).

b) Đúng

Ta có: \(Q\left( t \right) = \int\limits_{}^{} {Q'\left( t \right)\,{\rm{d}}t = \int {\left( {400.{e^{ - 0,01t}} - 20.{e^{0,04t}}} \right)} } \,{\rm{d}}t =  - 40000{e^{ - 0,01t}} - 500{e^{0,04t}} + C\).

\(Q\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow  - 40000 - 500 + C = 0 \Leftrightarrow C = 40500\).

Vậy \(Q\left( t \right) =  - 40000{e^{ - 0,01t}} - 500{e^{0,04t}} + 40500\).

c) Sai

Ta có: \(Q\left( {20} \right) =  - 40000{e^{ - 0,01.20}} - 500.{e^{0,04.20}} + 40500 \approx 6638\)mAh.

Khi đó pin được khoảng \(\frac{{6638}}{{20000}}.100 \approx 33,19\) mAh.

d) Sai

Dây sạc thường ngắt khi điện tích lớn nhất, tức là \(Q'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = g\left( t \right)\).

\( \Leftrightarrow 400.{e^{ - 0,01t}} = 20.{e^{0,04t}}\)

\( \Rightarrow {e^{0,05t}} = 20\).      

\( \Rightarrow t = \frac{{\ln 20}}{{0,05}} \approx 59,91\).

Khi đó: \(Q\left( {59,91} \right) \approx 13035,99\) mAh.

Dây sạc thông minh ngắt khi \(f\left( t \right) \ge 3g\left( t \right)\), tức là tại thời điểm \(f\left( t \right) = 3g\left( t \right)\)

\( \Leftrightarrow 400.{e^{ - 0,01t}} = 60.{e^{0,04t}}\)

\( \Leftrightarrow {e^{0,05t}} = \frac{{20}}{3}\).

\( \Rightarrow t = \frac{{\ln \frac{{20}}{3}}}{{0,05}} \approx 37,94\).

Khi đó: \(Q\left( {37,94} \right) \approx 10848,49\) mAh.

Vậy \(Q\left( {59,91} \right) - Q\left( {37,94} \right) \approx 13035,99 - 10848,49 \approx 2187,5\) mAh.